18. Интервальное оценивание параметров

Точечные оценки неизвестного параметра θхороши в качестве первоначальных результатов обработки наблюдений. Их недостаток в том, что неизвестно, с какой точностью они дают оцениваемый параметр. Для выборок небольшого объёма вопрос о точности оценок очень существенен, так как междуθи может быть большое расхождение в этом случае. Кроме того, при решении практических задач часто требуется определить и надёжность этих оценок. Тогда и возникает задача о приближении параметраθне одним числом, а целым интервалом .

Задачу о нахождении интервала , внутри которого с вероятностьюрнаходится точное значение оцениваемого параметраθназываютинтервальным оцениванием, а сам интервал –доверительным.

Для её решения заранее выбирают число , , называемое коэффициентом доверия (или уровнем значимости), и находят два других числаθ₁иθ₂, зависящих от оценкиθ, так что

. (12)

Число называетсядоверительной вероятностью(илинадёжностью), с которой оцениваемый параметрθпокрывается интервалом . В связи с этим говорят, что доверительный интервал накрывает оцениваемый параметр с вероятностью или в случаев. Границыθ₁иθ₂доверительного интервала называютдоверительными. От доверительных интервалов, основанных на всех возможных выборках объёмаn, ожидается, что их содержит истинное значениеθ.

Величина выбирается заранее, её выбор зависит от конкретно решаемой задачи. Так, степень доверия авиапассажира к надёжности самолёта, очевидно, должна быть выше степени доверия покупателя к надёжности телевизора, лампочки, игрушки… На практике обычно выбирают значения =0,1; 0,05; 0,001, что соответствует 90-, 95- и 99%-ным доверительным интервалам соответственно.

В прикладных статистических задачах длина доверительного интервала играет важную роль: чем меньше его длина, тем точнее оценка. Если длина этого интервала велика, то ценность такой оценки незначительна.

Выведем формулу для вероятности попадания случайной величины, распределённой по нормальному закону в данный интервал . Поскольку плотность распределения вероятностей нормально распределённой случайной величины есть

,

а вероятность попадания случайной величины в интервал равна , то искомая вероятность

.

Введём замену . Отсюда , следовательно . Получим:

, (13)

где Ф – функция Лапласа.

В частности, если интеграл симметричен относительно математического ожидания m, т.е. и , то формула (13) в силу нечётности функции приводится к виду

. (14)

П.5. Доверительный интервал для математического ожидании при известной дисперсии нормально распределённой генеральной совокупности.

Пусть независимые случайные величины X_i, , распределены по нормальному закону , причём дисперсия известна. Найдём доверительный интервал, который с заданной надёжностью γ покрывает параметрm(т.е. математическое ожидание).

Как известно (см. параграф 3.3 (текущий параграф), п.2., Теорема 1.), наилучшей оценкой математического ожидания mявляется выборочное среднее , имеющее нормальное распределение . Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину ( изменяется от выборки к выборке). Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

,

где γ – заданная надёжность.

Пользуясь формулой (14), заменив в ней Xна и σ на , получим

,

где .

Найдя из последнего равенства , можем написать

.

Приняв во внимание, что вероятность Pзадана и равна γ, окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через )

.

Таким образом, доверительный интервал для оценки с надёжностью γ математического ожидания mнормально распределённого признакаXимеет вид:

, (15)

где - точность оценки,n– объем выборки,t– значение аргумента функции Лапласа , при котором .