11.3. Касательные напряжения при изгибе

При поперечном изгибе в сечениях стержня действуют поперечная сила Q и изгибающий момент М и возникают нормальные σ и касательные напряжения τ.

Для определения касательных напряжений при поперечном изгибе балки произвольного сечения применяется формула Журавского

где b – ширина сечения на уровне, где определяют касательные напряжения;

- статический момент относительно нейтральной линии той части площади А, которая заключена между линией, где определяют касательные напряжения, и краем сечения, м³.

11.4. Расчеты на прочность при изгибе

При изгибе балки в общем случае, когда и , из-за неравномерности распределения нормальных и касательных напряжений отдельные элементы материала находятся в условиях различного напряженного состояния.

Характерно, что в точках, где нормальные напряжения максимальны (наружные волокна балки) касательные напряжения равны нулю, и, наоборот, там, где касательные напряжения максимальны (нейтральный слой), нормальные напряжения равны нулю.

Таким образом, рассматриваются два условия прочности, относящиеся к различным точкам балки:

1. по нормальным напряжениям

2. по касательным напряжениям

Тема 13. Устойчивость элементов конструкций

Критическая сила Р_кр — сила, при которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой формой равновесия сжатого стержня. В пределах упругих деформаций она определяется по формуле Эйлера:

где - минимальный осевой момент инерции поперечного сече­ния; Е - модуль упругости первого рода; l — длина стержня; — ко­эффициент приведения длины, определяется способом закрепления стержня.

Для наиболее часто встречающихся способов закрепления величина приведена на рис. 13.1. Величину можно определит по формуле , где — число полуволн в изогнутой (по синусоиде) оси стержня.

Критическое напряжение (при , где — предел упругости)

где - гибкость стержня; - минимальный радиус инерции сечения, м.

Таким образом, критические напряжения не зависят от характеристик прочности материала, а определяются только модулем упругости.

Условие применимости формулы Эйлера: , откуда получаем предельное значение гибкости:

Для стали

За пределом упругости ( , ) применяется формула Ясинского

^{Рис. 13.1}

для стали Ст3 = 310,0 - 1,14 (МПа);

для дерева = 29,3 - 0,194 (МПа).

Допускаемое напряжение при продольном изгибе определяется через допускаемое напряжение сжатия :

,

где — коэффициент снижения допускаемых напряжений (зависит от материала и гибкости стержня). Очевидно, < 1,0.

Расчеты на устойчивость основываются на условии устойчивости:

Расчет ведется на сжатие, но по пониженным допускаемым напряжениям, равным .

При проверочном расчете на устойчивость определяется коэффициент запаса устойчивости:

Допускаемое значение коэффициента запаса для стальных стержней [ ] = 1,7... 3, чугунных [ ] = 5, деревянных [ ] =3.

Проектный расчет на устойчивость проводится путем последовательных приближений. В неравенстве устойчивости, когда требуется определить размеры стержня при выбранном материале и форме сечения, неизвестными являются площадь сечения А и коэффициент . Поэтому в первом приближении принимается = 0,5. Затем расчет ведется по такой схеме: определяем

1) площадь

2) размеры сечения, а по ним радиус инерции

3. гибкость стержня

4) коэффициент в конце приближения.

Если и =0,5 значительно расходятся, то проводим второе приближение, взяв в начале расчетов

Приближения проводим, пока расхождение между коэффициентами в начале и конце приближения не будет меньше 0,1. Если на i-м приближении это расхождение стало < 0,1, то результат расчета оцениваем по напряжениям.

Допускаемое напряжение после i -го приближения

Напряжение сжатия в стержне

Находим недогрузку (или перегрузку):

Если недогрузка не превышает 15%, а перегрузка — 5%, то размер сечения подобран удачно. В противном случае делается следующее приближение.

21