Момент силы относительно оси

Вектор момента силы относительно выбранной точки можно представить своими компонентами . Компоненты разложения вектора по осям координат называют МОМЕНТАМИ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО соответственно ОСЕЙ х, у и z (рис. 11).

Рис. 11

Определяется момент силы относительно оси следующим образом:

- мысленно проводится любая плоскость, перпендикулярная оси;

- проектируется сила на эту плоскость;

- определяется момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскости.

Рассмотрим рис. 12. Допустим, надо определить момент силы относительно оси Z. Проводим плоскость, перпендикулярную оси Z (на рис. 12 это горизонтальная плоскость ХОУ). Проектируем вектор на эту плоскость (на рисунке это вектор ). Определяем момент вектора относительно точки пересечения оси Z и плоскости XOY (т.е. точки О). Он равен .

Рис. 12

ТЕОРЕМА С5 (теорема Вариньона). Сумма моментов сил относительно выбранной точки равна моменту равнодействующей этих сил относительно той же точки.

Доказательство. Если к заданной системе сил , ,…, , имеющих равнодействующую + +…+ добавить силу , равную по величине, противоположно направленную и лежащую на одной прямой с их равнодействующей = , то получим уравновешенную систему сил (аксиома СЗ). Следовательно, по условию равновесия сумма моментов всех этих сил будет равна нулю, т.е.

,

но поскольку , в силу определения силы , то

.

ПАРА СИЛ

ПАРА СИЛ - это две силы, равные по величине, противоположные по направлению и лежащие на параллельных прямых (рис. 13).

Рис. 13

МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ - это сумма моментов каждой из сил составляющих пару.

Две ПАРЫ СИЛ будут ЭКВИВАЛЕНТНЫ, если равны их моменты.

ТЕОРЕМА С6. Момент пары сил есть величина постоянная и равная моменту одной из сил, составляющих пару, относительно любой точки, лежащей на линии действия другой силы.

Доказательство. Рассмотрим пару сил и (рис. 13). Выбираем произвольную точку А.

Подсчитаем момент пары сил относительно этой точки

поскольку и точка выбиралась произвольно, теорема доказана.

Свойства пар сил:

1. Пару сил можно свободно перемещать и поворачивать в плоскости ее действия.

2. Пару сил можно переносить в любую точку твердого тела, сохраняя параллельность плоскостей действия пар.

3. Пару сил всегда можно заменить другой парой сил, изменив обратно пропорционально расстояние между силами.

УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

ТЕОРЕМА С7 (лемма Пуансо). Силу, действующую на данное тело можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно новой точки ее приложения.

Доказательство. Рассмотрим силу , действующую на тело в точке А (рис. 14а). Добавим в некоторой другой точке тела, например В, две силы и , такие, что и линии действия сил параллельны (рис. 14б). Очевидно, что и представляют собой уравновешенную систему сил и, следовательно, согласно аксиоме С4, состояние покоя тела не нарушится. Но силы и образуют пару сил и мы получаем систему, у которой имеется сила , приложенная в точке В, и пара сил с некоторым моментом m (рис. 14в), а равновесие тела сохраняется, ч. т. д.

Рис. 14

ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР - это сумма всех сил, действующих на рассматриваемую систему тел.

ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ - это сумма моментов всех сил, действующих на рассматриваемую систему тел, относительно выбранного центра.

ТЕОРЕМА С8. Любую систему сил, действующих на данное тело, можно свести к действию одной силы, приложенной в любой наперед выбранной точке тела, и одной пары сил.

Доказательство. Рассмотрим тело, на которое действует произвольная система сил , ,…, и пар сил с моментами , ,…, (рис. 15а). Выбираем любую точку этого тела, например О. Перенесем все силы в эту точку. Согласно теореме С7 при этом необходимо добавить соответствующее количество пар сил с моментами , ,…, (рис. 15б). Поскольку все силы собраны теперь в одной точке, их можно векторно сложить. В результате получим главный вектор системы

а также, используя свойства пар сил, можем сложить все действующие моменты пар сил и получим главный момент (рис. 15в)

Рис. 15

ТЕОРЕМА С9. Для того, чтобы тело под действием произвольной системы сил находилось в равновесии необходимо, чтобы главный вектор равнялся нулю и главный момент относительно произвольной точки тоже был равен нулю.

Доказательство. Из предыдущей теоремы С8 и аксиомы СЗ очевидно следует требуемое утверждение.

Следствие. При решении задач необходимо руководствоваться тем, что для равновесия тел необходимо и или же, спроектировав эти векторные равенства на соответствующие оси координат, получим систему из 6 уравнений равновесия

ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ.

В случае плоской системы сил (осей координат всего две – x и y) уравнений равновесия будет всего 3 и их можно представить в различных формах.

ТЕОРЕМА С10. Для того, чтобы плоское тело находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех действующих сил на каждую из координатных осей была равна нулю и сумма моментов всех сил относительно произвольно выбранной точки тоже была равна нулю.

Без доказательства.