Координаты центра тяжести

Силу тяжести фактически можно считать системой параллельных сил, поэтому для нее применимы все выше приведенные формулы.

Если тело является однородным, т.е. плотность его в любой точке тела одинакова, получаем, что вес элементарного объема тела , где - плотность тела, - объем i-ой части тела и тогда координата точки С по оси Х (остальные координаты находятся аналогично)

Если тело является плоским однородным, то

где - площадь i-ой части тела.

Если тело представляет собой стержневую конструкцию, состоящую из однородных стержней, то

где – длина i-го стержня конструкции.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СТАТИКЕ.

1. Вычерчивается расчетная схема задачи, включающая :

а) все тела, указанные в задаче;

б) геометрические размеры тел, размеры, характеризующие их положение в пространстве и размеры, характеризующие приложенные нагрузки;

в) заданные нагрузки;

г) связи.

2. Выбирается тело или группа тел, равновесие которых будет рассматриваться.

Рекомендация. Надо принимать первоначально к рассмотрению все те тела, у которых заданы или требуется определить реакции связей.

3. Выбирается система координат.

Рекомендация. Желательно выбирать направления осей системы координат так, чтобы они совпадали или были параллельны осям симметрии рассматриваемых тел.

4. Наносятся реакции связей.

Рекомендация. Направления реакций желательно выбирать так, чтобы они были параллельны осям координат.

5. Проверяется статическая определимость задачи.

6. Распределенные нагрузки следует заменить сосредоточенными.

7. Все силы, включая реакции связей, непараллельные осям координат, раскладываются на составляющие, параллельные осям координат.

8. Выбирается форма уравнений равновесия.

Рекомендация. Если сил немного и они все непараллельны, тогда возможно будет эффективным использование 3-й формы равновесия; если есть параллельные, то 2-й (в качестве оси берется направление перпендикулярное параллельным силам).

9. Составляются уравнения равновесия.

Рекомендация. При составлении уравнений моментов в качестве центра момента предпочтительнее выбирать ту точку, в которой пересекается большее количество сил (еще лучше неизвестных сил).

10. Решается полученная система уравнений относительно неизвестных.

11. Определяются полные реакции связей.

Рекомендация. Если по условию задачи требуется найти только одну реакцию, то все остальные находить необязательно и необязательно составлять все уравнения равновесия: достаточно лишь составить их минимально необходимое количество.

ТРЕНИЕ

Трение скольжения

В местах контакта реальных тел возникает сила, сопротивляющаяся взаимному смещению контактирующих поверхностей. Это СИЛА ТРЕНИЯ. Она всегда направлена по касательной к контактирующим поверхностям и всегда стремится препятствовать суммарной внешней силе.

Важнейшее свойство сил трения - это то, что они не могут вызывать движение. При отсутствии внешних сил сила трения всегда равна нулю. При достаточно малой суммарной внешней силе сила трения будет в точности равна ей по модулю и противоположна по направлению. При возрастании внешних сил, сила трения может их компенсировать только до определенного момента, а затем состояние равновесия тела нарушается и оно приходит в движение.

Состояние тела, когда малейшее увеличение внешней силы вызовет нарушение равновесия тела называют ПРЕДЕЛЬНЫМ РАВНОВЕСИЕМ, а сила трения действующая на тело в этот момент времени ПРЕДЕЛЬНОЙ СИЛОЙ ТРЕНИЯ.

Величина предельной силы зависит от многих факторов: от материала контактирующих тел, от чистоты обработки контактирующих поверхностей, от температуры окружающей среды и т.д., но в первом приближении можно определить предельную силу трения как

,

где - безразмерный коэффициент трения, зависящий только от материала контактирующих тел и определяемый экспериментально;

- величина нормального давлении между контактирующими поверхностями.

Конус трения.

Рассмотрим предельное равновесие тела (пренебрегая его собственным весом), покоящегося на шероховатой поверхности и к которому приложена некоторая сила Р (рис. 19).

Рис. 19

Составим уравнения равновесия

Если учесть определение предельной силы трения, силу определить из уравнения (2) и все это подставить в уравнение (1), то получим

а поскольку и , то в случае предельного равновесия должно выполняться равенство

или . (3)

Угол, определяемый соотношением (3), называют ПРЕДЕЛЬНЫМ УГЛОМ ТРЕНИЯ. Если к телу прикладывать какую угодно большую силу, но под углом меньшим предельного угла , то нарушить состояние покоя тела невозможно.

Если рассмотреть пространственную задачу, то получим ПРЕДЕЛЬНЫЙ КОНУС ТРЕНИЯ, показывающий, что, если сила действует внутри этого конуса, тело сохранит состояние покоя.

В технике такое явление называется ЗАКЛИНИВАНИЕ МЕХАНИЗМА.

Трение качения

Рассмотрим цилиндрическое тело, покоящееся на шероховатой поверхности. К нему приложена некая внешняя сила Р (рис. 20а).

Очевидно, что силы Р и F_тр образуют пару сил с моментом , который ничем не компенсирован и, следовательно, при любой малой силе Р должно начинаться движение тела. Но на практике это не так. Тело начнет движение только при определенном значении силы Р.

Этот парадокс объясняется тем, что у реальных тел контакт осуществляется не в точке, а всегда по определенной поверхности и поэтому реакцию N необходимо прикладывать не к середине поверхности контакта, а на ее краю (рис. 20б). В этом случае силы N и G образуют пару сил, противодействующую паре Р и F_тр.

Момент пары сил N и G называют МОМЕНТом ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ, а в случае предельного равновесия это будет ПРЕДЕЛЬНЫЙ МОМЕНТ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ, определяемый

где  - коэффициент трения качения, зависящий только от материала контактирующих тел, определяемый экспериментально и имеющий линейную единицу размерности.

Рис. 20.

Физический смысл коэффициента трения качения заключается в том, что он представляет собой полуширину поверхности контакта (рис. 20б).

Также как и силы трения скольжения, силы трения качения всегда противодействуют суммарному моменту внешних сил.

Поскольку для реальных материалов, которые используются в технике, , то потери энергии при трении качения меньше, чем при скольжении и поэтому там, где это возможно, стремятся заменять скольжение качением.

При решении задач на трение после определения реакций связи, включающих F_тр и М_тр, необходимо дополнительно проверять выполнение условий

.

Если эти условия не выполняются, то равновесие невозможно.

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ

ФЕРМА - это жесткая конструкция, состоящая us шарнирно соединенных стержней. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости – это ПЛОСКАЯ ФЕРМА.

Все внешние нагрузки в ферме прикладываются к узлам. Рассчитать ферму - это значит определить нагрузку в каждом стержне фермы.

Расчет фермы следует вести в следующем порядке.

Сначала рассматривается равновесие всей фермы (рис. 21) и определяются ее опорные реакции (R₁, R₂ и R₃ на рис. 21). Затем нумеруются по отдельности все узлы (помечены римскими цифрами на рис. 21) и стержни фермы (помечены арабскими цифрами). Далее проверяется дополнительное условие статической определимости

n = 2k - 3,

где n - количество стержней;

k - количество узлов.

Если это равенство не выполняется, расчет фермы надо прекратить (для фермы на рис. 21 n=7 и k=5, т.е. равенство выполняется, можно продолжать расчет).

Существует два основных классических метода расчета ферм: метод вырезания узлов и метод Риттера. Рассмотрим особенности каждого метода.

Рис. 21

Метод вырезания узлов

Последовательно выбираются узлы, из которых выходят только два стержня с неизвестными нагрузками (у фермы на рис. 21 таких узлов два: I и V, поэтому расчет можно начинать с любого из них). Выбранный узел вырывается из конструкции (например, сечение а на рис. 21). Действие разорванных стержней заменяется их реакциями, направленными вдоль самих стержней (рис. 22). Рекомендуется всегда направлять реакции от рассматриваемого узла. В этом случае после определения реакций положительные значения будут соответствовать растянутому состоянию соответствующего стержня, а отрицательные - сжатому.

Рис. 22

Далее рассматривается равновесие вырванного узла (рис. 22а). Поскольку силы, действующие на узел, всегда образуют сходящуюся систему сил, то составляются только уравнения сил, уравнения моментов не составляются.

Определив две неизвестные реакции (N₁ и N₂ на рис. 22а), действующие на рассмотренный узел (I на рис. 22а), переходят к следующему узлу с двумя неизвестными реакциями (проводится сечение b на рис. 21 и рассматривается равновесие узла II, рис. 22б). Далее процедура повторяется (ищутся реакции N₃ и N₄, a N₁ считается уже известной и т.д.). Причем, согласно аксиоме С5, нагрузку на узел со стороны уже рассчитанного стержня СЛЕДУЕТ НАПРАВЛЯТЬ также ОТ УЗЛА.

В последнем узле уравнения равновесия должны удовлетворяться тождественно. Если это не так, то в расчетах имеется ошибка и их надо проверить заново.

Метод Риттера

Используется только тогда, когда ферму можно разделить на ДВЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ЧАСТИ, разорвав при этом ТОЛЬКО 3 СТЕРЖНЯ (например сечение с на рис.21, которое разрывает только стержни 4, 5 и 6). Далее одна из частей фермы отбрасывается (например, левая относительно сечения с на рис. 21) и рассматривается равновесие оставшейся части (обязательно при этом учитываются внешние силы и реакции, действующие на оставшуюся часть фермы, см рис. 23). Поскольку неизвестных в уравнениях равновесия будет только 3 (N₄, N₅ и N₆ на рисунке), то всегда можно составить такое одно уравнение, из которого сразу определяется одно неизвестное. Если реакции стержней, которые не надо определять, не параллельны между собой (например N₄ и N₅), то составляется уравнение моментов относительно точки пересечения этих реакций (узел IV на рис. 23), а, если параллельны (как N₄ и N₆), то составляется уравнение проекций всех сил на направление, перпендикулярное этим реакциям (вертикальное направление на рис. 23).

Рис. 23.

Преимущества метода Риттера:

1. позволяет сразу определить одну требуемую реакцию;

2) иногда можно не определять предварительно опорные реакции - это когда все опорные связи оказываются в отброшенной части и не попадают в рассматриваемую.

Недостаток метода Риттера: его использование не всегда возможно - только когда удается разорвать требуемый стержень в числе 3-х других.