2. Используемые результаты

Теорема 1.2.1. (Свойства нормальных подгрупп).

Пусть группа, тогда справедливы следующие утверждения:

1. если , , то и , то есть пересечение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа и произведение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа;

2. если , , то , то есть пересечение нормальной подгруппы с произвольной нормальна в произвольной;

3. если , и , то , то есть нормальная подгруппа является нормальной в любой подгруппе ее содержащей.

Теорема 1.2.2. внутреннее прямое произведение.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. подгруппы перестановочны поэлементно, т.е.

2. каждый элемент допускает единственное представление в виде

Лемма 1.2.1.

1. если , , , то ;

2. если и , то ;

3. если , , то

4. если и , то ;

5. если , то .

Теорема 1.2.3. Пусть , – неабелева простая группа для всех i и Тогда существует подмножество такое, что .

Лемма 1.2.2. Пусть . Тогда:

1. если , то

2. eсли , то .

Лемма 1.2.3. Пусть . Тогда:

1. если , то либо N K, либо N K = E и NK = N K;

2. если абелева и для некоторой соб­ственной подгруппы группы , то ;

3. если K G и N K, то NK/K G/K.

Лемма 1.2.4. Пусть M — некоторое множество мини­мальных нормальных подгрупп группы G и . Тогда:

1. если , то существуют подгруппы такие, что ;

2. существуют подгруппы такие, что ;

3. если — множество всех минимальных нор­мальных подгрупп группы G, то существуют подгруп­пы такие, что .

Лемма 1.2.5. группа, Тогда:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Глава 2. Минимальные нормальные подгруппы конечных групп

2.1. Простейшие свойства минимальной нормальной подгруппы конечной группы

Определение 1.1.5. Минимальной нормальной подгруппой группы G называ­ют такую нормальную подгруппу N группы G, что N≠E и в N нет нетривиальных нормальных подгрупп группы G.

Запись означает, что N — минимальная нормаль­ная подгруппа группы G. Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.

Определение 1.1.6. Цоколем группы G называется подгруппа, являюща­яся произведением всех минимальных нормальных под­групп группы G. Цоколь группы G обозначают через SocG. Таким образом, .

Лемма 1.2.3. Пусть . Тогда:

1. если , то либо N K, либо N K = E и NK = N K;

2. если абелева и для некоторой соб­ственной подгруппы группы , то ;

3. если K G и N K, то NK/K G/K

Доказательство.

1. Пусть N K. Тогда N K G, и N K — собственная подгруппа в N. Поэтому N K = E и NK = N х K.

2. Поскольку N K G и N H N, то N H G и N H = E.

3. Так как N K, то NK/K — неединичная нормальная подгруппа группы G/K. Если X/K — минималь­ная нормальная подгруппа группы G/K из NK/K, то , X G и по тождеству Дедекинда. Теперь , а из утверждения 1 следует, что и . Поэтому .

Лемма 1.2.4. Пусть M — некоторое множество мини­мальных нормальных подгрупп группы G и . Тогда:

1. если , то существуют подгруппы такие, что ;

2. существуют подгруппы такие, что ;

3. если — множество всех минимальных нор­мальных подгрупп группы G, то существуют подгруп­пы такие, что .

Доказательство.

1. Если N и , то по лемме 1. Пусть – подмножество из M с наибольшим , для которого . Обозначим через . Ясно, что . Если , то существует подгруппа N , для которой .Но тогда по лемме 1 и ,что противоречит максимальности . Поэтому допущение неверно и .

2. Утверждение следует из утверждения 1 при .

3. Если - множество всех минималь­ных нормальных подгрупп группы G, то подгруппа совпадает с цоколем группы G и остается только применить утверждение 2.