Линейные преобразования. Матрица линейного преобразования

Наиболее часто в линейной алгебре приходится иметь дело с операторами, отображающими заданное линейное пространство в это же линейное пространство. Такие отображения называют преобразованиями линейных пространств.

Определение 3.

Оператор , действующий из L в L, т.е. : L  L, называется преобразованием линейного пространства L.

Это означает, что каждому вектору х из L по закону ставится в соответствие вполне определенный вектор у из этого же пространства L.

Преобразования линейных пространств будем обозначать буквами , , C , , и т.д.

Самым простым, и в то же время очень важным видом преобразований являются линейные преобразования. Поэтому дальнейшее изложение будет посвящено именно линейным преобразованиям линейных пространств.

Линейные преобразования можно записывать в координатной форме, т.е. для них существует единое правило нахождения координат образа по координатам прообраза.

Действительно, пусть – линейное преобразование линейного пространства L, х  L – произвольный вектор, у = – его образ, уL. Установим связь между координатами векторов х и у. Поскольку координаты вектора зависят от базиса, то зададим некоторый базис Б:{а₁, а₂, …, а_п} пространства L. Пусть

,

.

Поскольку , то . В силу линейности преобразования имеем

.

Векторы – образы векторов базиса Б – являются элементами пространства L, и значит, могут быть разложены по базису Б:

Тогда для вектора у получим

у =

.

Отсюда, в силу единственности разложения вектора по базису, имеем

(1).

Формулы (1) определяют правило нахождения координат образа у через координаты его прообраза х при линейном преобразовании. Если координатные столбцы векторов х и у обозначить соответственно

Х = и У =

то систему (1) можно записать в матричном виде У =А^.Х, (2)

где А = – квадратная матрица порядка п, i-й столбец которой составлен из координат вектора в выбранном базисе Б. Очевидно, А есть матрица системы векторов в базисе Б.

Таким образом, при фиксированном базисе любое линейное преобразование можно представить и притом единственным образом в матричной форме (2), или координатной форме (1)

Отсюда следует, что

• каждому линейному преобразованию в заданном базисе соответствует квадратная матрица, позволяющая осуществлять это преобразование посредством чисел – координат векторов и элементов данной матрицы;

• наоборот, любая квадратная матрица определяет в линейном пространстве L некоторое линейное преобразование, при котором координаты образа находятся по координатам прообраза с помощью системы (1).

Итак, мы имеем взаимно однозначное соответствие между множеством линейных преобразований линейного пространства Lⁿ и множеством квадратных матриц порядка п. Это соответствие, конечно, зависит от выбора базиса.

Определение 4.

Матрицей линейного преобразования в базисе Б называется матрица системы образов векторов базиса Б при этом преобразовании.

Чтобы найти матрицу линейного преобразования , нужно:

1. выбрать базис рассматриваемого пространства;

2. найти образы базисных векторов при преобразовании ;

3. разложить полученные образы по выбранному базису;

4. составить матрицу, расположив в её столбцах координаты образов базисных векторов. Это и будет искомая матрица преобразования .

Пример 3

Найти матрицу линейного преобразования:

а) тождественного;

б) нулевого;

в) : R²R² , такого, что  х = [х₁, х₂]R² = ^*).

а) Пусть : L  L такой, что  х  L . Рассмотрим какой-либо базис Б:{а₁, а₂, …, а_п} пространства L. Тогда

Отсюда получим матрицу преобразования

= Е,

т.е. матрицей тождественного преобразования является единичная матрица.

б) Рассмотрим нулевое преобразование : L  L, такое, что х = 0. Выбрав произвольный базис Б:{а₁, а₂, …, а_п} пространства L, получим

Отсюда получаем матрицу преобразования :

.

Следовательно, матрицей нулевого преобразования является нулевая матрица.

в) Для преобразования :R²R², переводящего вектор х = [х₁,х₂] в вектор = , найдем матрицу в каноническом базисе Б_к:{е₁= [1, 0], е₂ = [0, 1]}. Имеем

е₁= [2^.0, 1– 0] = [0, 1] = 0е₁+ 1е₂,

е₂ = [2^.1, 0 – 1] = [2, –1] = 2е₁+ (–1)е₂.

Тогда матрица этого преобразования А = .

Поскольку матрица линейного преобразования зависит от базиса, то возникает вопрос: как связаны между собой матрицы одного и того же преобразования в разных базисах? Справедлива следующая теорема.

Теорему 1

Если А – матрица линейного преобразования в базисе Б₁, а А – матрица этого же преобразования в базисе Б₂, то А = Т^–1.А^.Т, где Т – матрица перехода от базиса Б₁ к базису Б₂.

Определение 5

Матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица S такая, что В = S^–1.А^.S.

Согласно этому определению и теореме 6.2, матрицы одного и того же преобразования в разных базисах подобны.

Итак, мы установили соответствие между всеми линейными преобразованиями пространства L^п и всеми квадратными матрицами порядка п. Это соответствие зависит от базиса, причем матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны между собой.