Свойства собственных векторов и собственных значений

1. Собственный вектор и линейного преобразования имеет единственное собственное значение , ему соответствующее.

Доказательство: Предположим, что собственному вектору и соответствует два собственных значения ₁ и ₂. Тогда и = ₁и и и = ₂и, откуда ₁и = ₂и, или (₁ – ₂)и = 0. Но т.к. и 0, то ₁ – ₂ = 0, откуда ₁ = ₂. Следовательно, собственное число, соответствующее данному собственному вектору – единственное. ▲

2. Если и – собственный вектор,  – соответствующее ему собственное значение и   0 – произвольное действительное число, то и – также собственный вектор с тем же собственным значением .

Доказательство: Так как и – собственный вектор с собственным числом , то и = и. Поскольку – линейный оператор, то

(и) = ( и) = (и) =(и),

следовательно, и– собственный вектор с собственным значением . ▲

3. Если и и v – собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению , и и + v  0 , то и + v – также собственный вектор, соответствующий собственному значению .

Доказательство: Пусть и и v – собственные векторы, соответствующие собственному значению , причем и + v  0. Тогда и = и и v = v.

Поскольку – линейное преобразование, то

(и + v) = и + v = и + v = (и + v),

значит, и + v – также является собственным вектором, соответствующим собственному значению . ▲

4. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.

Доказательство: Ограничимся доказательством этого свойство для двух векторов. Пусть и и v – собственные векторы, соответствующие собственным значениям ₁ и ₂, причем ₁ ₂. Предположим, что и и v линейно зависимы, т.е. и +v = 0 и   0. Тогда и = v, где  = – , а по свойству 2) вектор и = v есть собственный вектор с таким же собственным числом, что и v, т.е. ₂. Но по условию вектор и соответствует собственному числу ₁  ₂.

Одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах соответствуют подобные, но разные матрицы. Естественно возникает вопрос, существует ли базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой – диагональный – вид? Справедливо утверждение:

Линейное преобразование : Lⁿ  Lⁿ тогда и только тогда задается в базисе Б:{а₁, а₂, …, а_п} диагональной матрицей, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами преобразования .

Пусть преобразование в базисе Б имеет матрицу А_Б, не являющуюся диагональной. И пусть в рассматриваемом пространстве существует базис Б_СВ из собственных векторов преобразования , в котором матрица преобразования имеет диагональный вид. Тогда из свойства подобия матриц линейного преобразования следует, что

,

где Т – матрица перехода от базиса Б к базису Б_СВ.

Матрицу А называют приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица Т такая, что – диагональная матрица. При этом говорят, что матрица Т приводит матрицу А к диагональному виду. Диагональную матрицу преобразования будем обозначать А_Д.