1.3 Способы решения показательных уравнений

Пример 1. Решить уравнение

= .

Решение. Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

2x² − 3x + 5 = x² + 2x − 1,

откуда x₁ = 2; x₂ = 3.

Ответ: 2; 3.

Пример 2. Решить уравнение:

а) 27( )^2х-4 = ; б) ^х = .

Решение. а) Данное уравнение равносильно уравнению 

3^{x + 1} = 3^6/х .

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

x + 1 = 6/x.

Решив это уравнение, получим

x₁ = −3, x₂ = 2.

б) ^х = 2^5х/4 = 5х/4 = -2х²-10х 8х²+45х=0

х(8х+45)=0 (х=0 или х= - ).

Ответ: а) -3; 2; б) - ; 0.

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Такой способ решения показательных уравнений называется приведением к одному основанию.

Пример 3. Решить уравнение:

а) 8 ∙ 2^{3x −1} − 2^3x + 5 ∙ 2^{3x + 2} = 92; б) 3^x = 5^x.

Решение. а) Данное уравнение равносильно уравнению

2^{3 x − 1} (8 − 2^{3 x − (3 x − 1)} + 5 ∙  2^{3 x + 2 − (3 x − 1)}) = 92.

Решая его, получаем:

2^{3x − 1}(8 − 2 + 5 ∙ 2³) = 92;

2^{3x − 1} ∙ 46 = 92;

2^{3x − 1} = 2.

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. 3x − 1 = 1, откуда находим x = . 

б) Разделив обе части уравнения на 5^х 0, получим уравнение ( )^х =1, равносильное данному. Решив его, получим ( )^х =( )⁰ , т. е. х = 0.

Ответ: а) ; б) 0. 

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Такой способ решения показательных уравнений называется разложением на множители.

При решении примера 3 б) мы применили метод почленного деления.

Пример 4. Решить уравнение 9^x – 12 ∙ 3^x + 27 = 0.

Решение. Обозначим 3^x = t, тогда 9^x = t².

Таким образом, из данного уравнения получаем

t² − 12t + 27 = 0,

откуда находим: t = 3 или t = 9.

Итак, с учетом обозначения имеем:

3^x = 3 или 3^x = 9;

x = 1 или x = 2.

Ответ: 1; 2.

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Рассмотрим ещё несколько примеров на данный метод.

Пример а) Найдите корни уравнения

( + )^x+2 + ( - )^x+2 = 10

Решение.

( + ) + ( - ) = 1

( + ) и ( - ) – сопряжённые выражения и являются взаимно обратными.

Решим данное уравнение методом замены

( + )^x+2 = t, тогда ( - )^x+2 = t^-1 =

t + = 10

t + - 10 = 0

Данное уравнение равнозначно системе

t² -10t +1 = 0

D = b² - 4∙a∙c = (-10)² - 4∙1∙1 = 100-4 = 96

t₁ = = = = = 5 - 2

t₂ = = = = = 5 + 2

Ответ: -4; 0.

Пример б) Найдите произведение корней уравнения

6∙ - - 2∙ = 0

Решение.

6∙ - - 2∙ = 0

Представим в виде произведения

= = ∙

6∙ - ∙ - 2∙ = 0 │∕ ≠0

6∙ - - 2∙ = 0

6∙ - -2∙1=0

Решаем данное уравнение методом замены

= t, t > 0

6 - t - 2 = 0

D = b² - 4∙a∙c = (-1)² - 4∙6∙(-2) = 1 + 48 = 49

t₁ = = = - – не удовлетворяет условие (t > 0)

t₂ = = =

=

=

x² = 1

x = ± 1

Произведение корней уравнения

1∙(-1) = -1

Ответ: -1.

Пример 5. Решить уравнение 3^х/2 + 2^x = 16 − 3^x.

Решение. Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Ответ: 2.

Теорема. Уравнение f (x) = g(x), (1)

где f – возрастающая и g – убывающая функции, определенные на одном и том же множестве, имеет не более одного корня, т. е. либо вообще не имеет корней, либо имеет единственный корень.

(Действительно, на рисунке 20, а, б видно, что графики возрастающей функции f и убывающей функции g пересекаются на области определения не более чем в одной точке.)

Доказательство. Пусть x₀ — корень уравнения (1), т. е. f(x₀) = g(x₀) — верное числовое равенство.

Если x < x₀, то по определению возрастающей и убывающей функций имеем

f (x) < f (x₀), g(x₀) < g(x).

Следовательно, f (x) < f (x₀) = g(x₀) < g(x), т. е. f (x) < g(x).

Значит, никакое число x < x₀ корнем уравнения (1) не является.

Аналогично доказывается, что и никакое число x x₀ не является корнем уравнения (1).  

Замечание. Эта теорема справедлива и тогда, когда одна функция возрастающая (убывающая), а другая постоянная.

Такой способ решения показательных уравнений называется использование свойств функций при решении показательных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение 6^x − 81∙2^x − 8 ∙ 3^x + 648 = 0.

Решение. 3^x ∙ 2^x − 81 ∙2^x − 8 ∙ 3^x + 648 = 0 ⇔

⇔ 2^x(3^x − 81) − 8(3^x − 81) = 0 ⇔

⇔ (3^x − 81)(2^x − 8) = 0 ⇔

⇔ (3^x − 81 = 0 или 2^x − 8 = 0) ⇔

⇔ (3^x = 3⁴ или 2^x = 2³) ⇔

⇔ (x = 4 или x = 3).

Ответ: 3; 4.

Такой способ решения показательных уравнений называется способ группировки

Пример 7. При каком значении а корнем уравнения 3^{1 + x − x2} = 3^{a − 8} является число, равное 2?

Решение. Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

= 3^{а − 8}, т. е. 3⁻¹ = 3^{а − 8}.

Решив это уравнение, найдем а = 7.

Ответ: при а = 7.

Такие способы решения показательных уравнений нам даны в учебнике алгебры 11 класса под редакцией профессора Л.Б. Шнепермана

Уравнения, однородные относительно a^x и b^x.

Общий вид:  .

9^x + 4^x= 2,5 × 6^x.

Решение:

3^2x – 2,5 ∙ 2^x ∙ 3^x+2^2x = 0    |: 2^2x > 0

(3/2)^2x– 2,5 × (3/2)^x + 1 = 0.

Обозначим (3/2)^x = y.

y² – 2,5y + 1 = 0,

y₁= 2; y₂ = ½.

Ответ: log_3/22; - log_3/22.

Пример

3∙4 ^{2 х} + 2∙9 ^{2 х} = 5∙4 ^х∙9 ^х.

Полученное уравнение однородное относительно 4 ^х и 9 ^х .

Разделим обе части уравнения на 4 ^{2 х} :

3 + 2∙ ( ) ^{2 х} – 5∙ ( ) ^х = 0;

Пусть ( ) ^х = у, у > 0.

Тогда

2 у ² – 5 у +3 = 0;

у = 1 или у = ;

( ) ^х = 1 или ( ) ^х = ;

х = 0 или х = .

Ответ: 0;