Практические советы при решении показательных уравнений:

1) Простейшие а ^х=b, где а>0 и а≠1

Если b≤0, то корней нет, т.к. а ^х >0.

Если b >0, то х=log_a b.

1)

или .

2)

2) а ^f(x)=a ^g(x)  f(x)=g(x)

3) А а^{х+ т}+ В а^{х+ п}=С.

Выносим общий множитель а^х за скобки (за скобки можно выносить степень с наименьшим показателем).

_,

4) А× а ^2х + В× а ^х =С.

С помощью замены а ^х = t приводим уравнение к квадратному А× t ²+ В× t =С.

5) А× а^х + В× а ^–х + С = 0.

С помощью замены а ^х = t приводим уравнение к квадратному А×t²+С×t +В =0.

6) Однородные показательные уравнения:

А× а^х = В× b^х – 1 степени;

А× а ^2х+ В× а^х b^х+ С b^2х=0 – 2 степени;

А× а ^пх+ В× а^{т х} × b^(п-т)х+С×b^пх =0.

Решаем делением на b^х; b^2х; b^пх соответственно, т.к. b^х≠0, b^2х≠0, b^пх ≠0.

7) А × а ^f(x)=В × b ^g(x)

Логарифмируем обе части уравнения по одному и тому же основанию (в качестве основания логарифма можно взять, в том числе, а или b).

8) M где а²- b=1. С помощью замены или приводим к квадратному

9) Уравнения, приводимые к алгебраическим уравнениям высших степеней.

10) Уравнения, решаемые на основе свойств функций.

. Разделим обе части уравнения на 8^х:

. Выражение, стоящее в левой части равенства, задаёт убывающую функцию (т.к. основание меньше 1), а выражение, стоящее в правой части равенства, задаёт возрастающую функцию (т.к. основание больше 1). Следовательно, если корень существует, то он один. Подбором получаем, что х=2