2.4. Анализ выполнения заданий этой темы

По разделу «Основы логики» в экзаменационной работе содержится четыре задания: два с выбором ответа и два с кратким ответом. Одно задание базового, два повышенного и одно – высокого уровня сложности. Экзаменуемые хорошо справились с заданием А3 базового уровня на проверку умения строить таблицы истинности и логические схемы: 79% выполнения в среднем. Результат практически эквивалентен предыдущим годам. Результат выполнения задания А10 повышенного уровня на проверку знания основных понятий и законов математической логики также выше результатов прошлых лет: 74% [2, 90 c.].

Как и в прошлые годы задание В12 повышенного уровня сложности на умение осуществлять поиск информации в Интернете с использованием логических операций дало результат в среднем 51%. Результат выполнения задания В15 высокого уровня сложности с кратким ответом на умение строить и преобразовывать логические выражения составил 69%.

В целом в 2013 году по теме «Основы логики» результаты полностью соответствуют и иногда даже превосходят результаты, прогнозировавшиеся комиссией. Можно сделать окончательный вывод о том, что повышенное внимание, уделенное этому разделу при разборе результатов ЕГЭ предыдущих лет, дало свои плоды: результат усвоения этой темы не выбивается из общего ряда.

Глава 3. Решения задач егэ по теме «Основы логики»

А3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

X	Y	Z	F
1	0	0	1
0	0	0	0
1	1	1	0

1) ¬X  ¬Y  ¬Z 2) X  Y  Z 3) X  ¬Y  ¬Z 4) X  ¬Y  ¬Z

Решение:

1. перепишем ответы в других обозначениях: 1) 2) 3) 4)

2. в столбце F есть единственная единица для комбинации , простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид , она есть среди приведенных ответов (ответ 3)

3. таким образом, правильный ответ – 3.

А 10. На числовой прямой даны два отрезка: P =[10?30] и Q=[25,55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула (xA)→((xP) (xQ)) тождественна истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

1. 10 2) 20 3) 30 4) 45

Решение:

1. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x  А, P: x  P, Q: x  Q

2. перейдем к более простым обозначениям

A → (P + Q)

3. раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ ( ):

4. для того, чтобы выражение было истинно при всех x, нужно, чтобы было истинно там, где ложно (жёлтая область на рисунке)

5. поэтому максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно, ложно) – это отрезок [10,55], имеющий длину 45

6. Ответ: 4.

В12. В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

Запрос	Количество страниц (тыс.)
Динамо & Рубин	320
Спартак & Рубин	280
(Динамо | Спартак) & Рубин	430

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Рубин & Динамо & Спартак?

Решение (вариант 1, круги Эйлера, полная диаграмма):

1. в этой задаче неполные данные, так как они не позволяют определить размеры всех областей; однако их хватает для того, чтобы ответить на поставленный вопрос

2. обозначим области, которые соответствуют каждому запросу

Запрос	Области	Количество страниц (тыс.)
Динамо & Рубин	1+2	320
Спартак & Рубин	2+3	280
(Динамо | Спартак) & Рубин	1+2+3	430
Рубин & Динамо & Спартак	2	?

3. из таблицы следует, что в суммарный результат первых двух запросов область 2 входит дважды (1 + 2 + 2 + 3), поэтому, сравнивая этот результат с третьим запросом (1 + 2 + 3), сразу находим результат четвертого:

N₂ = (320 + 280) – 430 = 170

4. таким образом, ответ – 170.

В 15. Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x₁x₂)  (x₃x₄)=1

(x₃x₄)  (x₅x₆)=1

Где x₁, x₂,…,x₆ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение (метод замены переменных):

1. используем замену переменных (заметим, что каждая из новых переменных независима от других, это важно!):

Y₁ = x₁  x₂, Y₂ = x₃  x₄, Y₃ = x₅  x₆

тогда система запишется в виде

Y₁  Y­₂ = 1

Y₂  Y­₃ = 1

2. можно объединить эти уравнения в одно

(Y₁  Y­₂)  (Y₂  Y­₃) = 1

для того, чтобы это равенство было выполнено, ни одно из импликаций не должна быть ложной, то есть в битовой цепочке, составленной из значений переменных Y₁, Y­₂, Y­₃, не должно быть последовательности «10»; вот все возможные варианты:

Y1	Y2	Y3
0	0	0
0	0	1
0	1	1
1	1	1

3. теперь вернемся к исходным переменным; импликация x₁  x₂ дает 0 при одном наборе исходных переменных (x₁,x₂) = (1,0) и 1 при трёх наборах (x₁,x₂) = {(0,0), (0,1), (1,1)}

4. учитывая, что каждая из новых переменных Y₁, Y­₂, Y­₃, независима от других; для каждой строки полученной таблицы просто перемножаем количество вариантов комбинация исходных переменных:

   Y1	Y2	Y3	вариантов
   0	0	0	1*1*1=1
   0	0	1	1*1*3=3
   0	1	1	1*3*3=9
   1	1	1	3*3*3=27

5. складываем все результаты: 1 + 3 + 9 + 27 = 40

6. Ответ: 40.