2.Математикалық есеп және оның түрлері

Есеп шығару – ерекше жұмыс, дәлірек айтсақ ой жұмысы. Ал кез келген жұмысты дұрыс атқару үшін, оның неден тұратыны және оны орындау үшін қандай құрал, әдіс керек екендігін алдын ала анықтап алу қажет. Кез келген есеп шарттардан және талаптардан құралады.

Есеп: Тікбұрышты үшбұрыштың катеті 5м-ге тең, ал оның гипотенузадағы проекциясы 3м. Гипотенузаны және екінші катетті тап. Есеп шарттарын былай бөліп көрсетуге болады.

а) Тікбұрышты үшбұрыш; ә) бір катеті 5м-ге тең; б) белгілі катеттің гипотенузадағы проекциясы 3м-ге тең. Есеп талабы: а) гипотенузасын және; ә) екінші катетті табу керек. Есеп шартында ұғымдар, қатыстар, теориялар қамтылады. Есеп талабы “дәлелде”, “есепте”, “сал”, “зертте”, “қанша болады” т.с.с. сөздермен айтылады. Есеп шығару дегеніміз не? Мысалдар қарастырайық:

а) (1)

көпмүшелігін көбейткіштерге жікте. Шығару:

1) Қосудың ауыстырымдылық және терімділік заңдары негізінде берілген (1) көпмүшелігін былай жазуға болады:

(2)

2) Ортақ көбейткішті жақша алдына шығару ережесі бойынша (2)-ні басқаша жазсақ:

(3)

3) Осы ережені тағы бір қолдансақ, (3)-ден

(4)

4) Қысқаша көбейту формуласын пайдалансақ

Сонымен

Есеп талабына жауап қайтарылады, есеп шығарылады.

ә) Үшбұрыш қабырғалары 13, 14, 15 болса, оған сырттай сызылған шеңбердің радиусын тап.

Шығару: 1) Герон формуласы бойынша

2) формуласы бойынша

шығады.

3) Сан мәндерін орнына қойсақ

Көрсетілген есептерді шығару кезінде, бұрыннан белгілі қандай да болмасын заңдылықтарды есеп шартына қолдана отырып, есептің талабына жауап ізденіліп отыр. Яғни, есеп шығару дегеніміз – математиканың жалпы заңдылықтарын (анықтамалар, аксиомалар, теоремалар, заңдар, формулалар), есеп шартына немесе оның салдарына белгілі бір ретпен қолдана отырып, есеп талабына жауап беру болып табылады. Сонымен есеп шығару, оның шартына белгілі бір математикалық ережелерді сәйкес түрде қолдана отырып, талабына қарай жылжитын ой қозғалысы. Есеп қарастырылатын объектілеріне байланысты – практикалық және математикалық болып екіге бөлінеді. Яғни есепте қарастырылатын объектінің бірі нақты шын зат болатын болса, ол практикалық есеп. Мысалы, Жер радиусы 6370 км, ал одан 4 км жоғары биіктікте ұшып бара жатқан тікұшақтан қаншалықты алыс жер көруге болады? Есепте қарастырылатын объектілер таза математикалық болса, ол математикалық есеп. Мысалы, М нүктесінен жүргізілген қиюшы шеңберді А және В нүктелерінде қияды, сол нүктеден жүргізілген жанама шеңберді С нүктесінде жанайды. болатындығын дәлелде.

Теоремаға байланысты стандартты және стандартты емес есеп түрлері белгілі. Дайын ережелердің көмегімен шығарылатын есеп стандарттық есеп делінеді де, ал шығару жолдары дайын ережелер арқылы табыла қоймайтын есеп – стандарттық емес есеп болады. Мысалы. 1. Егер болса, арифметикалық прогрессияның алғашқы алты мүшесін жаз (стандарттық есеп). 2. Арифметикалық прогрессияның төртінші мүшесі 4-ке тең. Прогрессия айырымының қандай мәнінде оның алғашқы үш мүшесінің қос-қостан алған көбейтінділерінің қосындысы ең кіші мәнге ие болады (стандартты емес)? Есеп талабына қарай: а) есептеу, ә) дәлелдеу, б) зерттеу, в) салу есептеріне бөлінеді. Есептеуге арналған есептерге: өрнек мәнін табу, функцияның мәнін есептеу, кесіндінің ұзындығын, фигураның ауданын табу, бұрыш шамасын анықтау т.с.с. жатады.

Қандай да болмасын ұйғарымның ақиқаттылығына көз жеткізу немесе ұйғарымның жалғандығын тексеру не белгілі бір құбылыстың дұрыстығын түсіндіру – дәлелдеу есептері.

Теоремалардың барлығын да дәлелдеу есептеріне жатқызуға болады.

“ саны жай сан ба, құрама сан ба?”

“Қандай трапецияның диагоналы оның орта сызығын тең үш бөлікке бөледі”. “а және b-ның қандай мәндерінде

теңдіктері орынды” т.с.с. есептері зерттеуге арналған есептер. Зерттеу көптеген есептер шығару кезінде кездеседі: нүктелердің геометриялық орны, теңдеулер мен теңсіздіктердің шешім сандарының қаншалықты болуы т.с.с.

Белгілі бір құралдар жәрдемімен берілген шарттарды қанағаттандыратын фигуралар салу – салу есептерін құрайды. Есеп шығаруға кіріспес бұрын, оқушыларды есеп түрін анықтап алуға үйрету – басты талаптардың бірі болып табылады.

Өзінің алға қойған дидактикалық мақсаттарына қарай есептерді үш түрге бөлуге болады:

1) танымдық есептер: бұлар арқылы жаңа білім алынады; 2) машықтану есептері: бұлар арқылы орнықты білім дағдылар қалыптасады; 3) шығармашылық ойлауды қажет ететін дамыту есептері. Таным есептерін жаңа материалдар өтуде, оқытудың проблемалық және эвристикалық әдістерін қолдануда шығару керек. Бұл дидактика талаптарына сай келеді, сондықтан математиканы оқып-үйрену барысында кеңінен қолданылады. Алайда мектеп математикасында ең көп тараған есеп түрлері жаттығу есептері болып табылады, олар математикалық білімдерді қолдануда сапалы және берік дағдылар қалыптастыра отырып, математикалық теорияларды саналы түрде меңгеруге ықпал етеді.

Жаттығу және танымдық есептерді шығарумен шектелу, оқушылардың эвристикалық, шығармашылық ойлауын дамытуды толық қамтамасыз ете алмайды. Сондықтан бұл мақсатты жүзеге асыруға математикалық, логикалық, интуициялық, тапқырлық т.б. қабілеттер араласатын арнайы іріктелген есептер шығарып отырудың маңызы аса зор.

Шешу кезінде қандай ойлау түрінің басым болуына байланысты есептерді алгоритмдік, жартылай алгоритмдік және эвристикалық деп шартты түрде үшке бөлуге болады. Танымдық есептер негізінен жартылай алгоритмдік, дамытушы-эвристикалық есептерге жатады. Формула немесе ереже бойынша шығарылатын есептер алгоритмдік және жартылай алгоритмдік болып келеді.