5. Координатные методы исследования движения точки. Метод декартовых координат.
M(x,y,z),
x=x(t),
y=y(t),
z=z(t)
– задают закон движения точки, т.е. они
эквивалентны
,
,
,
,
,
,
,
6. Метод цилиндрических координат.
Положение точки М в цилиндрической системе координат характеризуется тремя переменными: ρ, ɸ, z
ρ(t),
ɸ(t),
z(t)-закон
движения точки ( эквивалентно
Из рисунка видно, что :
,
,
.
+r*
7. Метод сферических координат
r=r(t), Q=Q(t), H=h(t)
r=
Q=arg
H=artg
-
рад.проекция
– меридианная
проекция
– ар-утальная
проекция
8. Кинематика поступательного движения твердого тела.
Рассмотрим абсолютно твердое тело, т.е. тело расстояние между двумя любыми точками, которое постоянна.
Для аналитического описания движения твердого тела достаточно выбрать 3 любых его точки, не лежащих на одной прямой, т.к. выбраны 3 точки у каждой из которых по 3 степени свободы, то в целом у твердого тела наличествует 9 степеней свободы, но изначально из- за абсолютной твердости этого тема на него уже наложено 3 связи.
)2 + (YA – YB)2 + (ZA – ZB)2 = const.
)2 + (YA – YC)2 + (ZA – ZC)2 = const.
)2 + (YB – YC)2 + (ZB – ZC)2 = const.
Это означает, что у абсолютно твердого тела имеется 6 степеней свободы (3- поступательных, 3- вращательных)
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором 2 его любые точки описывают параллельные прямые.
Для описание поступательных движений выберем 2 системы координат: неподвижные с осями (o, x, y, z) и движущиеся с осями С Е ɳ ᶓ
Любая
точка М на твердом теле может быть
описана, радикальна,
в неподвижной системе координат и
в движущей системе координат. Сама точка
С в неподвижной системе координат
описывается
.
Из ∆ ОСМ видно, что
=
+
,
т.к. СМ две любые точки твердого тела,
то расстояние между ними меняться не
будет
=
const.,
=
(а1,а2,
а3
),
где
а1,а2,
а3
это
компоненты
.
x(t)= a1+xc(t)
y(t)= a2+yc(t)
z(t)= a3+xc(t)
=
C,
=
Кинематические характеристики (радиус, скорость, ускорение). Легко описывается через аналогические характеристики точки С; траектории точки М получается путем параллельного переноса траектории точки С.
9. Вращение твердого тела
Вращением абсолютно твердого тела называется такое его движение, при котором каждая точка тела описывает окружность с центром на общей оси - оси вращения.
Выберем
на твердом теле произвольную точку M,
которая при вращении вокруг оси OZ
будет описывать окружность с центром
в точке M".
Относительно системы OXYZ,
точка М характеризуется радиус-вектором
лежит в плоскости OM"MM'.
Эта плоскость повернута относительно
OX
на угол .
Рассмотрим поворот точки М на бесконечно
малый угол .
При этом точка
,
а плоскость
,
Так как точка М движется по окружности,
то
.
Так как -мал.,
то
и хорда практически равна своей дуге
окружности. Угол между
и OZ
равен
.
Так как всё вращение зависит от угла
поворота ,
то выражение =(t)
- закон движения точки твердого тела.
(хорда)
Из
OM"M
(M"=90):
Правая
часть выражения описывает векторное
произведение
и
.
,
так
как вращение вокруг оси OZ,
Если взять производную от радиус-вектора по времени при условии
всегда
направлена вдоль оси вращения.
Если мы выберем в движущейся системе отсчета единичные орты, то
Таким образом в кинематике вращательного движения используются следующие кинематические характеристики:
-угол поворота (угловое перемещение), [] = рад, град.
-
угловая скорость,
= рад/с, град/с.
-
линейная скорость =
(м/с).
-
угловое ускорение, []
=
