Дифференцирование функции комплексной переменной

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой области комплексной плоскости, и точки , . Обозначим , .

Производной функции в точке называется конечный предел отношения когда произвольным образом стремится к нулю

Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.

Если , то комплексная функция имеет вид , и ее приращение можно представить в виде

Таким образом, при любом способе стремления к нулю, должен существовать этот предел, равный одному и тому же комплексному числу . В частности, это должно иметь место, если а) и или, если б) и . В первом случае

Во втором случае

Но тогда должны выполняться равенства

(А)

которые называют условиями Коши-Римана (или условиями Д’Аламбера-Эйлера).

Обратно, если в некоторой точке функции , дифференцируемы как функции действительных переменных , и, кроме того, удовлетворяют соотношениям (А), то функция является дифференцируемой в точке как функция комплексной переменной .

Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в ней и некоторой ее окрестности. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой ее точке.

Для всякой аналитической функции производная выражается через частные производные функций , :

Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Если функция - аналитическая в точке и , то равен коэффициенту растяжения в точке при отображении плоскости на плоскость , точнее: при будет растяжение, а при будет сжатие. Аргумент производной равен углу, на который надо повернуть касательную в точке к любой гладкой кривой на плоскости , которая проходит через точку , чтобы получить направление касательной в точке к образу этой кривой на плоскости при отображении . Отметим, что при поворот осуществляется против часовой стрелки, а при - по часовой стрелке.

Отображение с помощью аналитической функции называется конформным отображением.

Дифференцирование элементарных функций.

Производные элементарных функций , , , , , , , , находятся по формулам:

.

Гармоническая функция.

Функция называется гармонической в области , если она имеет в ней непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

Если функция аналитическая в области , то ее действительная часть и мнимая часть являются гармоническими функциями в этой области.

Однако, если , - две произвольные гармонические функции, то функция вовсе не обязана быть аналитической функцией: для аналитичности нужно, чтобы функции , удовлетворяли условиям Коши-Римана.

Пример. Выяснить, является ли аналитической функция .

, т.е. , .

Находим частные производные

Следовательно, . Условие Коши-Римана выполнены для всех точек плоскости . Значит функция является аналитической на всей плоскости.