Вычеты функций

Вычетом однозначной аналитической функции в изолированной особой точке называется число, которое обозначается через и определяют формулой

где интеграл взят в положительном направлении по контуру . Используются и другие обозначения , . В качестве контура рассматривается окружность с центром в точке достаточно малого радиуса, такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции и не содержала внутри себя других особых точек этой функции. Вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени лорановском разложении функции в окрестности точки

Вычет функции в устранимой особой точке равен нулю.

Если - полюс порядка функции , то

В случае простого полюса ( )

Если функция в окрестности точки является частным двух аналитических функций

причем , , а , т.е. - простой полюс функции , то

Если является существенно особой точкой функции , то для нахождения необходимо найти коэффициент в лорановском разложении функции в окрестности точки ; это и будет .

Теорема Коши.

Если функция является аналитической на границе области и всюду внутри этой области, за исключением конечного числа особых точек , то

Этой теоремой пользуются при вычислении определенных интегралов и нахождении суммы рядов.

Функция является аналитической в в бесконечно удаленной точке , если функция аналитична в точке . Например, функция аналитична в точке , поскольку функция аналитична в точке .

Пусть функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки ). Говорят, что является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует предел этой функции при .

Теорема. Если является устранимой особой точкой функции , то ее лорановское разложение в окрестности данной точки не содержит положительных степеней ; когда - полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней , в случае существенно особой точки – бесконечное множество положительных степеней .

Рассмотрим функцию , аналитическую в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой этой точки).

Вычетом функции в бесконечности называется величина

где - окружность достаточно большого радиуса , которую точка проходит по часовой стрелке (при этом окрестность точки остается слева, как и в случае конечной точки ).

Из этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при в лорановском разложении в окрестности точки , взятому со знаком минус

Известные разложения функций , , , , можно рассматривать как лорановские ряды в окрестности точки . Поскольку указанные ряды содержат бесконечное множество положительных степеней , то указанные функции имеют в точке существенную особенность.

Теорема. Если функция имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек , то сумма всех ее вычетов, включая и вычет бесконечности, равен нулю.

Пример. Найти вычет функции .

Данную функцию можно записать так: и рассматривать эту сумму как разложение в ряд Лорана по степеням , для которого . Соответственно находим, что ( - особая точка) .

FVB