Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

1 Методом наименьших квадратов подобрать коэффициенты аппроксимирующей функции (по вариантам) и построить график аппроксимации с исходными точками.

2 Составить программу для выполнения задания, а также выполнить его в пакете Mathcad. Построить графики табличной функции (маркерами) и аппроксимирующей.

3 Найти все отклонения и среднеквадратическое отклонение аппроксимирующей функции от заданной табличной, заполнив таблицу:

xi	x1	x2	...	xn
yi	y2	y2	...	yn
Ф(xi)	Ф(x1)	Ф(x2)	...	Ф(xn)
yi			...

Среднеквадратическое отклонение:

М – математическое ожидание (среднее арифметическое)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Содержание отчета:

1. Вывод и решение системы для определения коэффициентов полинома.

2. Таблицы.

3. Графики функций и полиномов.

4. Выводы.

Контрольные вопросы:

1. Сравните полиномиальную интерполяцию табличной функции многочленами и аппроксимацию по методу МНК.

2. Какие функции обычно выбираются в качестве аппроксимирующих (приведите формулы).

3. Способы линеаризации зависимостей.

4. В чем заключается основная идея МНК?

Лабораторная работа №5

Приближенное вычисление определенных интегралов

1. Вычислить точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

2. Вычислить приближенное значение интеграла для равного количества отрезков по методу:

• Левых, правых, средних прямоугольников;

• Трапеций;

• Симпсона.

3. Вычислить абсолютные и относительные погрешности для всех методов.

4. Заполнить таблицы у_k=f(x_k).

		Yk
k	Xk	Лев. Прям.	Прав. прям.	Сред. Прям.	Трапеций	Симпсона
0			-	-
½		-	-
1				-
1 ½		-	-
...
n		-		-
Интеграл

Заполнить итоговую таблицу, в которой сравнить значения, абсолютные и относительные погрешности вычисленных интегралов.

Варианты заданий

Пример выполнения

Решение.

Вычислим интеграл в Mathcad.

Составим программу для вычисления интеграла.

unit integr;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, ExtCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

Image1: TImage;

procedure Image1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

const n=50;

var

Form1: TForm1;

h,x,dx,s:real;

i:integer;

st:string;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Image1Click(Sender: TObject);

begin

str(n:3,st);

textout(20,5,'n='+st);

with image1.Canvas do begin

h:=3.14/3-3.14/6;

x:=3.14/6-dx;

s:=0;

dx:=h/120;

for i:=0 to 119 do

begin

x:=x+dx;

s:=s+dx*(1/sqr(sin(x)));

end;

str(s:8:4,st);

textout(20,20,' По формуле левых прямоугольников:'+st);

x:=3.14/6;

s:=0;

for i:=1 to 120 do

begin

x:=x+dx;

s:=s+dx*(1/sqr(sin(x)));

end;

str(s:8:4,st);

textout(20,35,' По формуле правых прямоугольников:'+st);

x:=3.14/6-dx;

s:=0;

for i:=0 to 119 do

begin

x:=x+dx;

s:=s+dx*((1/sqr(sin(x))+1/sqr(sin(x+dx)))/2);

end;

str(s:8:4,st);

textout(20,50,' По формуле трапеций:'+st);

x:=3.14/6;

s:=0;

for i:=1 to 120 do

begin

x:=x+dx;

s:=s+dx*(1/sqr(sin(x-dx/2)));

end;

str(s:8:4,st);

textout(20,65,'По формуле средних прямоугольников:'+st);

x:=3.14/6;

s:=0;

h:=(3.14/3-3.14/6)/2;

s:=(h/3)*(1/sqr(sin(x))+4/sqr(sin(x+h))+

1/sqr(sin(x+2*h)));

textout(20,80,'По формуле Симпсона:'+st);

end;

end;

end.

Протокол.

Содержание отчета:

1. Вывод и решение системы для определения коэффициентов полинома.

2. Таблицы.

3. Графики функций и полиномов.

4. Выводы.

Контрольные вопросы:

1. Выведите формулы прямоугольников, трапеций.

2. Что из себя представляет семейство квадратурных формул Ньютона-Котеса?

3. Что такое порядок метода? Дайте характеристику порядкам методов, применяемых в работе.

4. Как вычислить значение определенного интеграла с заданной точностью?

Литература

1. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). – М.: Высшая школа, 2001. – 382с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: ФизматГИЗ, 1963. – 660с.

3. Плис А. И. Сливина Н. А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов