Вопросы для самопроверки

1. Приведите определение полинома (многочлена).

2. Что представляет собой моном многочлена?

3. Запишите пример полинома в полной и сокращенной формах.

4. Какие полиномы называются унитарными?

5. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты полинома в модулярном пространстве?

6. Поясните схему приведения полинома к унитарной форме.

7. В чем состоит особенность выполнения операций суммирования в двоичном модульном пространстве?

8. Приведите определения приводимых и неприводимых полиномов.

9. Какие делители полиномов являются тривиальными?

10. Поясните понятие «корень полинома» и каким условиям он должен удовлетворять?

11. Поясните термин «характеристика полинома».

12. Какой элемент поля Галуа называется примитивным?

13. Дайте определение «степени» и «порядка» неприводимых полиномов.

14. Что означает термин «примитивный полином»?

15. В чем состоит физический смысл примитивности полинома?

16. Сформулируйте необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять неприводимые двоичные полиномы.

17. Что такое порядок мультипликативной последовательности?

18. Приведите определение и примеры двойственного неприводимого полинома.

19. Является ли двойственный полином неприводимым (примитивным), если исходный полином неприводим (примитивен)?

3 Раздел

Краткое изложение раздела

1. Под алгебраической системой (или алгебраической структурой) в общем

случае понимают множество А элементов произвольной природы (носи-

тель) с заданным на нем набором операций (сигнатур), удовлетворяющим

некоторой системе аксиом.

2. Под нульарной алгебраической операцией на множестве А понимают про-

извольный фиксированный элемент этого множества.

3. Примером унарной (одноместной) операции может служить операция вы-

числения элемента aA , обратного элементу a того же множества А .

4. Бинарной алгебраической операцией на множестве А называется такая ма-

тематическая операция «  », которая произвольной паре элементов 3 a 3 a и

b множества А однозначно ставит в соответствие элемент c a b, принад-

лежащий этому же множеству, и называемый композицией или произведе-

нием элементов a и b .

5. Бинарная алгебраическая операция может обладать такими важнейшими

свойствами как ассоциативность, коммутативность и транзитивность.

6. Алгебраическая операция , заданная на множестве ,А называется ассоци-

ативной, если для любых элементов 1 2 , aa и 3 a из А выполняется равен-

ство (a1 a2 ) a3  a1 (a2 a3) .

7. Бинарная алгебраическая операция , заданная на множестве А , называ-

ется коммутативной, если для любых элементов 1 a и 2 a из А выполняется

равенство 1 2 2 1 a a  a a .

8. Транзитивность в математике (или транзитивное отношение) – это такое

отношение, при котором если один элемент каким-либо образом соотно-

сится с вторым, а второй точно таким же способом соотносится с третьим,

то и первый элемент соотносится с третьим тем же самым способом.

9. Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным, если

для любых трех элементов a, b, c множества выполнение отношений aRb

и bRc влечет выполнение отношения aRc .

10. Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция

выделяются особые элементы, называемые нейтральными и поглощаю-

щими.

96

11. Элемент e из множества А называется нейтральным относительно алгеб-

раической операции , если для любого элемента a из множества А вы-

полняются равенства a e e a a.

12. Элемент p из множества А называется поглощающим относительно ал-

гебраической операции , если для любого элемента a из множества А вы-

полняются равенства a p p a p.

13. Во множестве 0 Z целых неотрицательных чисел нуль является нейтраль-

ным элементом относительно сложения, поскольку для любого a из А вы-

полняются равенства a a a     00 . Это же число нуль является погло-

щающим элементом относительно умножения: для любого a из множества

Z 0 верны равенства a  0  0  a  0.

14. Во множестве 0 Z целых неотрицательных чисел единица является

нейтральным элементом относительно умножения, поскольку для любого

a из А выполняются равенства a a a     11 . Этот же элемент 1, будучи

компонентой множества высказываний А , является поглощающим эле-

ментом относительно алгебраической операции дизъюнкции над высказы-

ваниями: для любого высказывания a из множества А верны равенства

a 1 1 a 1.

15. Важную роль в алгебраических структурах играют так называемые обра-

тимые и симметричные элементы.

16. Пусть ()X, – алгебраическая структура с нейтральным элементом e . Эле-

мент aX называется обратимым, если найдется элемент bX , для ко-

торого a b b a e   . Элемент b называется симметричным к a . Если b –

симметричный элемент к a , то a – симметричный элемент к b .

17. Непустое множество элементов произвольной природы G с определен-

ном на нем бинарной операцией называется группой, если: (а) операция

ассоциативна; (b) существует нейтральный элемент e ; (c) любой эле-

мент a из G имеет симметричный (обратный) элемент b G  . Условия

(а), (b) и (с) называются аксиомами группы.

18. Пусть в группе G , кроме указанных трех аксиом, оказывается выполнен-

ным еще и условие: a b  b a, называемое коммутативностью. В этом

случае группа G называется коммутативной или абелевой группой.

97

19. Если число элементов группы конечно, то группа является конечной, в

противном случае она называется бесконечной.

20. Число элементов конечной группы определяет ее порядок и обозначается

как G .

21. Групповая операции чаще всего вводится посредством двух символов:

(1) знака умножения  или  ; тогда группа называется мультипликативной

и её обозначают ()G,  или ()G,  ; нейтральный элемент вводится симво-

лом 1 и называется единицей, а элемент, симметричный к a , является об-

ратным к a и записывают как

1 a 

, при этом

1aa1 или

1 aa   1 ;

(2) знака сложения  ; тогда говорят о сложении элементов из группы;

группу называют аддитивной и обозначают ()G,  ; нейтральный элемент

вводится символом 0 и называют его нулем, а элемент, симметричный к ,a

является противоположным к a и обозначают a  . Таким образом,

22. Подмножество H группы G , само являющееся группой относительно

операции , определяющей G , называется подгруппой и является таковой

тогда и только тогда, когда: (1) H содержит единичный элемент из G ; (2)

содержит произведение любых двух элементов из H ; (3) со всяким элемен-

том h содержит обратный к нему элемент

1 h 

.

являющихся одним из способов представления групповых операций.

23. Конечные группы удобно задавать в форме таблиц Кэли, являющихся од-

ним из способов представления групповых операций.

24. Таблица Кэли — таблица, которая описывает структуру конечных алгеб-

раических систем путем расположения результатов операции в таблице,

напоминающей таблицу умножения.

25. Конечной мультипликативной группой ()G,  вычетов по модулю m назы-

вается мультипликативная группа обратимых элементов множества выче-

тов по модулю m.

26. Групповая операция в мультипликативной группой (G,) обозначается как

умножение; число n элементов g конечной группы ( ) G, определяет её по-

рядок; нейтральный элемент вводится символом 1 и называется единицей.

27. Порядок ord элемента g конечной группы ( ) G, порядка n определяется

как минимальное натуральное число k такое, что (mod ) ( ) 1 k k

n g n  g  .

98

28. Порядок любого элемента g группы ()G,  является делителем порядка

группы, то есть ord(g) | ord((G,)) .

29. Любой элемент g конечной группы (G,) порядка n удовлетворяет соот-

ношению ( ) 1 n

n g  .

30. Элемент g , из степеней которого составлена некоторая группа ()G,  ,

называется образующим (порождающим, примитивным) элементом этой

группы.

31. Группа (G,) , образуемая степенями одного примитивного элемента g ,

называется циклической группой и обозначается как g.

32. Существуют группы ()G,  , которые порождаются не одним, а несколькими

элементами. . Тем самым на смену понятию одного образующего элемента

приходит понятие «системы образующих элементов».

33. Некоторое множество S элементов группы ( ) G, называется системой

образующих этой группы, если всякий элемент g группы ()G,  есть произ-

ведение конечного числа сомножителей, каждый из которых либо есть эле-

мент s множества S , либо является обратным некоторому элементу s мно-

жества S .

34. У циклической группы порядка n существует ровно ()n  порождающих

элементов, где  — функция Эйлера.

35. Все элементы z множества p Z  по модулю простого числа p обладают

мультипликативно обратными значениями, причем 1 11  и

1 ( p 1) ( p 1)     .

36. Мультипликативная группа вычетов m Z  может быть образована только

по модулю простого числа m  p , так как если m окажется составным чис-

лом, то во множестве m Z  найдется хотя бы один элемент z , не являющийся

взаимно простым с m, и, как следствие, этот элемент не будет иметь об-

ратного значения, что противоречит третьей аксиоме группы: любой эле-

мент z из m Z  имеет обратный элемент 1

m z Z    .

37. Кольцо — это произвольное множество R , на котором заданы бинарные

операции обратимого сложения (то есть операции  , –) и умножения.

99

38. Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение,

вычитание и умножение чисел, называют числовым кольцом.

39. Поле — наиболее абстрактное понятие в математике и составляет алгебру

F , для элементов которой определены все четыре арифметические опера-

ции (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль),

причем свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых

операций.

40. Конечные поля, называемые полями Галуа, содержат конечное число q

элементов и обозначаются () GF q . Если qp , где p  простое число, то

поле называется простым полем Галуа и обозначается как () GF p или p F .

Если nqp , 1 n  , то поле называется расширенным полем Галуа и обо-

значается как ()n GF p или n p

F .

41. Элементами расширенного поля ()n GF p , как частный вариант, могут

быть или n  мерные кодовые комбинации, каждый разряд которых ir

принадлежит простому полю ()GFp , то есть ( ) i r GF p  , 1,in , или поли-

номы степени, не превышающей 1 n  .

42. Аргумент p поля () GF p , как и ()n GF p , является одним из важнейших

параметров поля Галуа и называется характеристикой поля. Поскольку

любое поле () GF q наряду с ненулевыми элементами a должно содержать

их обратные значения

1 a 

, то характеристика поля p обязана быть только

простым числом.

43. Порождающий элемент мультипликативной группы qF  , обозначим его

, называется также примитивным элементом поля qF . Поле qF содержит

k  (q 1) примитивных элементов i  , 1, i k  , где  — функция Эйлера.

44. Чтобы определить примитивные элементы поля GF( p) достаточно найти

один из них, например, 1  , а затем воспользоваться соотношением

1 si (mod )

i    p , i 1,k , где i s — показатели степени, взаимно простые с

числом p .

100

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение алгебраической структуры.

2. Как следует понимать нульарную алгебраическую операцию?

3. Приведите приме нульарной алгебраической операции.

4. Дайте определение бинарной алгебраической операции.

5. Назовите основные свойства, которыми могут обладать алгебраические операции.

6. Какие элементы являются нейтральными относительно операций сложе-ния и умножения?

7. Приведите определение обратного элемента.

8. Посредством каких символов (знаков) вводятся основные алгебраические операции?

9. Дайте определение группы.

10. Назовите основные аксиомы групп.

11. Каким свойством обладают абелевы группы?

12. Что представляет собой порядок группы и как он обозначается?

13. Приведите определение подгруппы.

14. Что представляют собой таблицы Кэли?

15. Дайте определение мультипликативной группы по модулю.

16. Приведите определение порядка элемента группы.

17. В каком соотношении находятся порядки группы и её элементов?

18. Как следует понимать термин «образующий элемент группы»?

19. Какая группа называется циклической?

20. Что представляет собой «система образующих элементов» группы?

21. По какой причине мультипликативная группа может быть образована только по модулю простого числа?

22. Дайте определение кольца как алгебраической структуры.

23. Какое кольцо называется числовым?

24. Что представляет собой алгебраическая структура «поле».

25. Какие операции используются в полях?

26. Что представляет собой поле Галуа?

27. Поясните понятие «характеристика поля».

28. Какие элементы поля Галуа называются примитивными?

29. Каким способом вычисляются примитивные элементы поля Галуа?