11. 3.10.3. Трансверсально изотропное тело

Цилиндрическая симметрия. Есть избранное направление ; все направления, ему ортоганальные  равноправны.

Удобно начинать с теплового расширения. Тензор практически очевиден:

Тензор  проецирование на плоскость, ортоганальную  или единичный для векторов этой плоскости.

Переходя к 4-валентным тензорам, легко найдем

.

Этот тензор выделяет “круговую” составляющую тензора напряжений:

(оси ортоганальны ).

Тензор

 выделяет составляющую тензора на плоскости изотропии.

Еще:

Еще:

Наконец,

Итого  5 штук. Попробуйте найти шестой! Заметим:

С ортонормированным тензорным базисом есть проблемы.

Если , то быстро находим

(аналогия с девиатором на плоскости)

И далее  три тензора, работающие с двумя величинами и . Две степени свободы! Это подсказывает, что можно на их базе найти два тензора, ортогональных между собой.

Итак, мы нашли разложение на 4 ортогональных составляющих

,

где  девиатор в плоскости ,  сдвиг,

Пропал тензор . Он имеет отношение к этим же компонентам напряжений .

Закон Гука имеет вид (в искомом ортогональном базисе).

А где поперечная деформация?

Соль в том, что состояние может быть разложено на ортогональные составляющие бесчисленным множеством образов (чего раньше не было!  у изотропных и ортотропных материалов).

При любом k ортогонально! (проверьте). Каждый трансверсально изотропный материал выбирает свое k  конкретное, связанное с его внутренними свойствами.

Из :

Изотропное тело: (не физические свойства, а свойства симметрии! А это тоже физика!). Далее учитывая, что

и что

,

находим

Ортогональность и следует прямо из . Итого

где (напомним)

Ну и к чему все это шло:

4 модуля и 1 безразмерная константа упругости.

В :

Состояние :

отображается вектором ,

угол  :

Вектор : , на плоскости имеет координаты 2k и . Так что .

Осталось подумать об идентификации: из каких испытаний определять k_i, k.

Это непросто, но сейчас  дело техники. Ортогональный базис xy технику сильно упрощает.

Можно с указанных позиций рассмотреть другие актуальные ситуации: трансортоизотропное тело и просто ортотропное.

Но мы этим здесь делать не будем. И так уж подзадержались на простейшей модели среды, физической модели (модель сплошной среды не обсуждается).

12. 3.11. Виртуальная и действительная работа напряжений

Как отмечалось, решение краевой задачи в общем случае (когда задача статически неопределима) требует совместного решения трех систем уравнений: статики, геометрии и физики. Имеется еще одна – четвертая сторона механики, весьма полезная для решения задач. Это – «энергетическая» сторона, оперирующая величинами измеренными в джоулях (отметим, что в тех же величинах измеряются и просто моменты сил). Она получена в результате совместного использования статической и геометрической сторон, не имеет ни малейшего отношения к свойствам материалов (в частности, к закону сохранения) и заменяет, когда это полезно, геометрическую либо статическую сторону.

В теории напряжений, в отличие от теории деформаций, не приходится сопоставлять два состояния: начальное, недеформированное и текущее, актуальное, деформированное. Рассматривается только последнее. Статическая сторона механики представляет самостоятельную сторону, и факт, что рассматриваемые напряжения действуют в деформированном теле, не играет ни какой роли. Следует лишь не забывать, что напряжения на площадке (нормаль к площадке , величина площади ds, ) представляет интенсивность распределенной силы, подсчитываемую для деформированной площадки. До деформирования эта площадка имела и другую нормаль, и другую площадь. В остальном все соображения статики (или динамики) остаются в силе, напряжения в различных площадках (деформированного тела) представляют линейную функцию нормали ( ); тензор  называют тензором Коши в отличие от некоторых искусственных модификаций тензора напряжений (например, тензора Пиолы–Кирхгофа, смысл которого весьма туманен).

Принцип виртуальных работ (перемещений) формулируется по-разному, хотя означает одно и то же. Чтобы не мучиться со знаками, сформулируем его так: если выполняются условия равновесия и совместности деформаций, то при любом возможном (виртуальном) смещении материальных частиц тела работа внешних сил, приложенных к телу, равна работе внутренних (напряжений). Виртуальными называются бесконечно малые смещения, удовлетворяющие условиям совместности деформаций.

При бесконечно малых смещениях точек среды, на которые действуют силы, работа последних может вычисляться в предположении их постоянства (скалярное произведение вектора силы на вектор смещения ). То же можно сказать и о работе внутренних сил (напряжений), но с оговоркой: работа последних на смещениях равна нулю в виду уравновешанности напряжений.

П ри записи условий равновесия и некоторых уравнений энергетического характера возникает необходимость вычисления виртуальной работы внутренних сил. Например, в принципе возможных (виртуальных) перемещений (работ, мощностей) необходимо научиться вычислять работу напряжений на возможных перемещениях (дисторсиях). Следует помнить, что виртуальные деформации и перемещения – не только разрешены связями, но и бесконечно малы. Поэтому выражение для удельной работы внутренних сил (в единице объема, который является бесконечно малым) остается тем же, что и в теории упругости, когда используется линеаризирующая задачу гипотеза бесконечной малости всех смещений. Для наглядности удобно рассмотреть элементарный параллелепипед с гранями, нормали к которым представляют декартов базис , со стороны dr_i. Сила (или на противоположной площадке – ) совершают работу на виртуальном смещении закрашенной площадки (по соображении совместности площадка остается плоской и с параллельными ребрами). Последнее позволяет характеризовать это движение смещением центра площадки , – виртуальное бесконечно малое изменение волокна (которое когда-то было , где – дисторсия), если предположить, что площадка (“задняя” площадка) неподвижна. Значит, виртуальная работа напряжения на этой площадке есть

, (3.35)

а общая работа . Учитывая, что , , заметим:

и, поскольку тензор напряжений симметричен (закон парности касательных напряжений)

,

где .

Тензор представляет тензор бесконечно малых виртуальных деформаций деформированного состояния. Естественно, тензор напряжений на бесконечно малых деформациях не изменяется и коэффициент в выражении (3.35) равен 1.

Для подсчета действительной работы необходимо интегрировать работу по пути: для истории напряжения в данном элементарном материальном объеме (t) (тензор напряжения Коши) необходимо еще знать историю деформаций *(t). Таким образом, можно вывести ряд полезных формул.

, ,

.