13. 3.12 Геометрические и массовые характеристики

В сопротивлении материалов используются, кроме тензора напряжений  и тензора деформаций , два тензора, характеризующих необходимые для оценки прочности характеристики плоских фигур (поперечное сечение). Простейший – вектор

, (3.36)

который можно назвать статическим моментом фигуры относительно полюса О. Здесь – радиус-вектор произвольной точки фигуры, полюс-точка, радиус-вектор которой равен , А – площадь фигуры.

Проекция этого вектора и на оси декартовой системы координат представляют интегралы:

называют статическими моментами фигуры относительно осей y и х., соответственно. Так сложилось, что обозначают S_y и называют статическим моментом относительно оси у, а S_x.

При смене полюса (рис. 3.8, сдвиг 00’ обозначен вектором ) статический момент изменяется очевидным образом:

Очевидно, что существует такая точка С, для которой вектор окажется равным нулю

(3.37)

Рис. 3.8.

( — радиус-вектор точки С). Точку С называют (условно) центром тяжести фигуры. Из выражения (3.37) следует, что если мы, наоборот, знаем центр тяжести фигуры, то статический момент находится из выражения

.

Последнее, что необходимо знать по этой поверхности — то, что при разбиении фигуры на части можно интеграл (3.36) вычислить по частям:

,

где — статический момент i-той части. Отсюда выражение для определения центра тяжести фигуры С можно определить (если известен центр тяжести i-той фигуры C_i) следующим образом:

.

Другую используемую в сопротивлении материалов геометрическую характеристику фигуры представляется двухвалентным тензором момента инерции относительно полюса О

Нетрудно видеть, что это симметричный тензор с декартовыми координатами:

,

,

,

обозначаемыми обычно (опять так исторически сложилось)

(3.38)

Отсюда получаются несколько странные формулы для преобразования координат при повороте декартовых осей. При правильном обозначении координат – это обычное для тензоров выражение J=E'JE'^т: если оси правой системы координат, то E' – матрица столбцы которой представляют повороты на угол α против часовой стрелки, векторов e_i в новом базисе h_k (см. рис. 3.9)

,

,

откуда

Это выражение обычное для двухвалентных тензоров (в частности тензора напряжений и тензора деформаций) при переводе на обозначения сопротивления материалов принимает необычный вид

Главные оси при повороте осей не изменяются. При переносе полюса отсчета тензора J₀ на вектор получим, очевидно, следующее:

.

В частности, если (напомним, что ), найдем

.

Например, осевой момент инерции равен сумме:

,

где Δ=r_cy – расстояние до точки 0 от центральной оси «х».

В механике движения твердых тел фигурируют похожие тензоры: статический массовый момент:

и массовый момент инерции

.

Первый момент используют для определения центра массы

он также складывается из статических моментов частей (как и момент инерции).