Лучше круг рисовать более привычно

1 2

6. Динамика сплошной среды.

Напомним: геометрия ~ силы ~ физика - три стороны механики!

Неоднородные НДС – геометрия – рассмотрели.

Физика – не будем: принимают – то же, что при О.

динамика!

Проще, чем геометрия: одно текущее состояние!

Удобно начать с частного случая: условия равновесия для закрепленного тела.

6.1. Уравнения равновесия.

Их два векторных.

1. - для любого V (1связи, 2,…) силы внешние.

Здесь

[масса: m = F/a = Н/м с² = Нс²/м]

[плотность: ρ = m/v = Нс²/м4]

Произвольность объема означает справедливость теоремы Гаусса

где

- скалярным, векторным или тензорным произведением.

Чтобы получить вектор (сила) надо взять - скаляр

- вектор

- тензор

Последний случай – общий (содержит предыдущие), его и выберем, т.е.

- наружная нор. (1)

(2)

Из (1) найдем, что T – тензор напряжений (далее его будем обозначать δ – как в разделах 2, 3). По определению:

Из (2)

или, как обычно пишут

Т.о. – равнодействующая напряжений (поверхностных сил), действующих с разных сторон на dV(отнесенная к dV)

2.Второе векторное условие равновесия.

Опять справедлив Гаусс!

Учтем

Тождественно? Не совсем!

В итоге (без дает:

или

То же самое мы уже получали из однородных НДС.

На практике: Плоск НС в полиномах!

Таким образом, если “по силам” равновесия требует условия!!!, то “по моментам” – лишь в симметричности δ. Как и при однородных НДС.

Однородные Но не обязательно однородные!

6.2 Уравнение движения.

Итак, на элемент объема dV действуют две силы: – со стороны соседей (абс Близкодействие) и – со стороны высшего начальства (абс. дальнодействие). Обычное житейское правило, только абсолютизировано. Если плотность в этом объеме то его масса и ускорение

или

или

Любое из них (обычно последнее) называют уравнением движения.

В механике твердого тела очень любят использовать уравнение равновесия – даже если нет равновесия. Используют костыль – силу инерции

“действующую» (как бы) на элемент объема и в сумме с другими дающую “равновесие» (как бы) – принцип Д’Аламбера

или

(массовая инерция)

6.4. Некоторые следствия ПВП.

6.4.1. Интеграл Мора.

Для краткости ПВП будем записывать в виде

,

Где А* - виртуальная работа внешних сил, - виртуальная работа внутренних сил (напряжений). Для вычисления А* нужны виртуальные смещения (в точках, где приложены внешние силы), А’* - деформации, отвечающие этим смещениям. И, кроме того, напряжения, отвечающие внешним силам.

В качестве виртуальных смещений вполне годятся действительные смещения, возникающие в рассматриваемом теле при каких-либо действиях – если они малы или нам удовлетворяют считать, что они малы.

Интеграл Мора, который мы здесь хотим рассмотреть, позволяет найти смещения, если заданы деформации. Природа деформаций неважна, требуется лишь совместность этих деформаций, т.е. они должны представлять градиент (его симметричную, либо сам градиент) какого-либо поля смещений. Правда, находится на поле смещений, а лишь одна скалярная величина проекция смещения в некоторой точке и некоторое направление . Тем не менее Интеграл Мора весьма полезен в практических задачах благодаря его большой универсальности.

Итак, освободим рассматриваемое тело всех нагрузок и вместо этого в точке в направлении силу .Полагая тело идеально линейно упругим, найдем поле напряжений МКЭ. Применим , найдем, что работа силы P вычисляется интеграл.

Линейная упругость вспомогательной задачи позволяет вместо P прикладывать силу, равную 1 – или поделить все напряжения на P, получив , т.е.

Напомним, что деформация не имеет отношение к вспомогательной задаче: там совсем другие деформации.

6.4.2. Самоуравновешенные напряжения.

- возникают в теле при отсутствии внешних сил, если его неравномерно нагревать (или нагревать равномерно, но связи не допускают свободного расширения) или при наличии пластических деформаций – после разгрузки – если последние несовместны, и во многих других случаях.

Если для таких внутренних сил записана ПВП при произвольном поле совместных (допускаемых, возможных) деформаций, то А* окажется нулевой (нет внешних сил) и

При любых совместных работа равна нулю.

Отсюда следует, что в интеграл Мора с тем же успехом можно поставлять вместо “упругих” напряжений (следующих из закона Гука) напряжения, например, полученных в том же теле из неупругого материала. Как и прежние (упругие) они отвечают условиям равновесия, значит, отличаются от прежних на самоуравновешенную составляющую. Но при вычислении интеграла Мора последняя все равно обнуляется.