7. Законы сохранения.

Прагер их называет основными законами механики сплошности среды. При этом (да у других авторов) имеется путаница: вводятся они или выводятся? С первым - полная ясность:

7.1. Закон сохранения массы (условие непрерывности).

этот закон вводится. Он не следует из предыдущего (например, из геометрии). Относится он, наверное, к “физика”. Хотя мы, по старинке, “физикой” называем дифференциальные свойства среды – связь между σ и ε . Но и другие механические свойства среды – тоже “физика”.

Итак, масса (инерционная) – мера сопротивления ускорения. Величина аддитивная. Для каждого dV есть dm=ρdV. Соответственно, ρ – плотность.

– и есть закон. Ввели. (7.1)

По определению мат. скорости интеграла по объёму

, (7.2)

то есть

( Напомним, , ). (7.3)

Если вспомнить ещё формулу

(7.4)

и арифметику

, (7.5)

то получим другой вид того же уравнения

. (7.6)

Здесь характеризует поток массы, дивергенция потока – источник массы: при масса приходит и уходит, если , то уменьшается (или прибывает, если .Этим и определяется изменение массы в данной точке пространства.

Интегрируя по объёму, получим тот же закон “в большом”:

(7.7)

приращение массы в объёме V идет за счет потока через поверхность (не иначе)!

В случае стационарности движения

т. е.

.(7.8)

(Заметим, что, из (7.6), в стационарном движении!)

( что втекает, то и вытекает). Если взять трубку тока (боковая поверхность – линии тока), то втекает только через торец трубки (стенки “непроницаемые”, т.к. скорость – ортогонально ). Отсюда (что втекает, то и …)

, (7.9)

– два любых сечения трубки. Нет, не любых, а поперечных! Хотя можно взять и наклонные!!

− поперечное!! (7.10)

Все же − площадь поперечного сечения.

Наконец, если материал несжимаем, обратно пропорционален .

Поскольку масса материальных частиц неизменна (если мы так смотрим на сплошность среды), то рост плотности означает “уплотнение” среды, т. е. уменьшение объема, занимаемый рассматриваемыми частицами: . Если среда несжимаемая (таких, правда, не бывает, но модели также полезны), то

, (7.11)

или скорость деформации – девиатор

(7.12)

значит,

. (7.13)

Поле называют векторным потенциалом скорости.

Безвихревое течение:

(7.14)

− потенциал скорости (сколярной); течение называют потенциальным

. (7.15)

Несжимаемость

Тот же закон сохранения массы в Лагранжевой форме

(7.16)

или (7.17)

или

Наверное, можно было сразу вспомнить

(7.18)

и отсюда Л.И.Седов обращает эти выражения на другие постоянные количественные характеристики. Например, относительное число молекул газа :

. (7.19)

То же относится к смесям ( при введение пропорциональных скоростей ; для , ): для каждой из компонент записывают подобные выражения. Например, при описании диффузии.

7.2. Теорема о количестве движения.

− прямо следует из уравнения движения. Или наоборот – как понравится. Прагеру – наоборот.

Понятие количество движения обобщает известное из теории механики:

, (7.20)

= − два варианта для скорости интеграла

а) (7.21)

б) (7.22)

Оба дают полезную информацию.

Случай а)

(7.23)

Но из сплошности (7.3) часть убирается:

(7.24)

− это только из сплошности + арифметика

А вот учтем и закон движения:

(7.25)

Итого: скорость изменения количество движения равна главному вектору внешних сил. Что и требовалось доказать.

Если вместо а) использовать

б) (22), то

, как видели, . (7.26)

Значит,

(7.27)

затем переносим

Слева – локальное изменение количество движения, справа − минус поток через поверхность.

Если стационарное движение в трубке тока, то левый интеграл есть ноль и

(7.28)

− равнодействующая объемных и поверхностных сил на кусок трубки. А точнее, конечно, изменение (скорость) количество движения.

Другой пример (Прагер) (как и первый) – сила , действующая на покоящееся твердое тело со стороны жидкости в стационарном движении.

О пять слева - ноль. На . На со стороны действует − . На − сила .Значит,

, т.е. (7.29)

(7.30)

Еще случай: турбулентное движение:

, (7.31)

− осредненное движение

− флуктуации. Турбулентное.

− статическое положение, т.е. интегралы по объему или поверхности от функций, линейных относительно

можно пренебрегать по сравнению со средней , если размер области больше определенной величины.

Однородная несжимаемая среда: (7.27)

(7.32)

Без слагаемого − обычная теорема об импульсе для среднего движения. Влияние турбулентности представлено “турбулентными напряжениями”− (их ввел в теорию турбулентности О. Рейнольдс).