3 Типові розв΄язання задач
Задача 1.1 Про розподіл ресурсів між двома галузями
Для розвитку двох галузей 1 і II на три рокивиділено х засобів. Кількість засобів у, вкладених у галузь I, дозволяє одержати за рік прибуток (у) = =0,5·у2 , і зменшується до розміру (у) =0,5·у. Кількість засобів х–у, вкладених у галузь II, дозволяє одержати за рік прибуток (х–у)=0,8·(х–у)2 , і зменшується до величини (х–у) = 0,7·(х–у). Необхідно так розподілити виділені ресурси між галузями за роками планованого періоду у три роки, щоб повний прибуток був максимальним
Розв΄язок. Нехай xk - сума коштів, що розподіляються на початок к-го року, к=1,2,3 поміж двома підприємствами; yk - сума коштів, що виділяються першому підприємству; xk-уk - сума коштів, що виділяються другому підприємству; fn-k+1(xk) - максимальний сумарний прибуток від двох підприємств за n-k+1 етап (рік), n=3, за умови, що на початок к-го року було xk коштів. Відлік етапів і років наступний:
Тоді функціональні рівняння Беллмана мають вигляд:
;k=1;2;3.
При (n=3), k=3 перший етап
;
.
Знайдемо max z1 (x3;у3):
.
.
Тому
що
,
то
точка
y*3
– теж
точка min,
а не max.
;
.
Тоді
.
При k=2 за два етапи
.
.
Знайдемо max z2 (x2;у2):
.
.
Тому
що
,
то
точка
y*2
– теж
точка min,
а не max.
;
.
Тоді
.
При k=1 за три етапи
.
.
Знайдемо max z3 (x1;у1):
,
.
Тому
що
,
то
точка
y*1
– теж
точка min,а
не max.
;
.
Тоді
.
Дано x1=S=300 грош. один..
Зробимо висновки за отриманими результатами. Економічний аналіз отриманих результатів проведемо у таблиці 4.
Таблиця 4
Економічний аналіз результатів
Роки |
Кошти першого підприємства |
Кошти другого підприємства |
Залишки коштів |
Прибуток за роками |
1 |
y1=0 |
х1-y1=300 |
х2=210 |
72000 |
2 |
у2=0 |
х2-y2=210 |
х3=147 |
35280 |
3 |
у3=0 |
х3-y3=147 |
|
17287,2 |
Одержаний максимальний прибуток від двох підприємств склав 124567,2 грош. один..
Задача 1.2 Про розподіл капіталовкладень між чотирма підприємствами
Знайти оптимальний план розподілу капіталовкладень S= 25 грош. один.. між чотирма підприємствами, якщо приріст випуску продукції для i-го підприємства, ri(x), і=1,…,4, залежно від обсягу капіталовкладень, x, відомий і заданий у таблиці 5.
Розв΄язок. Нехай xk - обсяг капітальних вкладень, виділених k-му підприємству k=1,2,3,4, x - обсяг капітальних вкладень, виділених на n підприємств, fn(x)– сумарний максимальний прибуток від n-підприємств при виділенні їм капіталовкладень обсягу х.
Тоді функціональні рівняння Беллмана:
.
Таблиця 5
Обсяг капіталовкладень і приріст випуску продукції для підприємств
-
Обсяг кап. вкладень X
Приріст продукції по i-му підприємству
r1(x)
r2(x)
r3(x)
r4(x)
5
18
20
16
20
10
20
21
27
23
15
27
31
34
26
20
31
37
40
31
25
40
40
41
40
Перший
етап: n=1
,
тому що r1(x)
–
зростаюча
функція. Значення функції f1(x)
наведені у таблиці 6.
Таблиця 6
Значення функції f1(x)
-
x
5
10
15
20
25
f1(x)
18
20
27
31
40
Другий
етап: n=2 ,
.
Усі обчислення для знаходження значень функції f2(x) проведемо у таблиці 7.
Таблиця 7
Результати розрахунків другого етапу
-
x2
x
0
5
10
15
20
25
f2(x)
90
x2*
5
0+18
20+0
-
-
-
-
20
5
10
0+20
20+18
21+0
-
-
-
38
5
15
0+27
20+20
21+18
31+0
-
-
40
5
20
0+31
20+27
21+20
31+18
37+0
-
49
15
25
0+40
20+31
21+27
31+20
37+18
40+0
55
20
x2* – оптимальне значення обсягу капітальних вкладень, виділених 2-му підприємству, при 0 ≤ х2 ≤ х.
Третій
етап: n=3 ,
.
Усі обчислення для знаходження значень функції f3(x) проведемо у таблиці 8.
Таблиця 8
Результати розрахунків третього етапу
-
x3
x
0
5
10
15
20
25
f3(x)
90
x3*
5
0+20
16+0
-
-
-
-
20
0
10
0+38
16+20
27+0
-
-
-
38
0
15
0+40
16+38
27+20
34+0
-
-
54
5
20
0+49
16+40
27+38
34+20
40+0
-
65
10
25
0+55
16+49
27+40
34+38
40+20
41+0
72
15
х3* – оптимальне значення обсягу капітальних вкладень, виділених 3-му підприємству, при 0 ≤ х3 ≤ х.
Четвертий
етап: n=4 ,
.
Усі обчислення для знаходження значень функції f4(x) проведемо у таблиці 9.
Таблиця 9
Результати розрахунків четвертого етапу
-
x4
x
0
5
10
15
20
25
f4(x)
90
x4*
5
0+20
20+0
-
-
-
-
20
0;5
10
0+38
20+20
23+0
-
-
-
40
5
15
0+54
20+38
23+20
26+0
-
-
58
5
20
0+65
20+54
23+38
26+20
31+0
-
74
5
25
0+72
20+651
23+54
26+38
31+20
40+0
85
5
х4* – оптимальне значення обсягу капітальних вкладень, виділених 4-му підприємству, при 0 ≤ х4 ≤ х.
Висновки. При розподілі між чотирма підприємствами грошової суми в 25 грош. один. при таких обсягах капітальних вкладення у підприємства буде сумарний максимальний приріст випуску продукції :
четвертому підприємству 5 грош. один., що забезпечить приріст продукції 20 грош. один.;
третьому підприємству з 20 грош. один., що залишилися – 10 грош. один., що забезпечить приріст продукції у 27 грош. один.;
другому підприємству з 10 грош. один., що залишилися – 5 грош. один., що забезпечить приріст продукції у 20 грош. один.;
першому підприємству 5 грош. один., що залишилися, що забезпечить приріст продукції у 18 грош. один..
Перевірка. 20 + 27 + 20 + 18 = 85 = f4(x).