Логические операции

Включение.Пусть А и В — нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если 

Обозначение: А ⊂ В.

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, ко­гда А ⊂ В,говорят, что В доминирует А.

Равенство.А и В равны, если 

Обозначение: А = В.

Дополнение.Пусть М = [0, 1], А и В – нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если 

Обозначение: 

Очевидно, что   (дополнение определено для М = [0, 1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченногоМ).

Пересечение. А ⋂ В— наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:

Объединение. A∪В — наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

Разность.   с функцией принадлежности: 

 Дизъюнктивная сумма

А ⊕ В = (A - B) ∪ (B - A) = (A ⋂  ̅B) ∪ (  ̅A ⋂ B)

с функцией принадлежности:

Примеры. Пусть

Здесь:

1)          А ⊂ В, т. е. А содержится в B или Bдоминирует А С несравнимо ни с A, ни с В, т.е. пары {А, С} и {А, С} — пары недоминируемых нечетких множеств.

2)          A≠ B ≠ C

3)          ̅A = 0,6/x₁ + 0,8/x₂ + 1/x₃ + 0/x₄; ̅B = 0,3/x₁ + 0,1/x₂ + 0,9/x₃ +0/x₄.

4)          А ⋂ В = 0,4/x₁+ 0,2/x₂+ 0/x₃+ 1/х₄.

5)          A ∪ В = 0,7/x₁+ 0,9/x₂+ 0,1/x₃+ 1/x₄.

6)          А - В = А ⋂ ̅В =0,3/x₁+ 0,l/x₂+ 0/x₃+ 0/x₄;

  В - А= ̅А ⋂ В =0,6/x₁+ 0,8/x₂+ 0,l/x₃+ 0/x₄.

7)          А ⊕ В = 0,6/x₁+ 0,8/x₂+ 0,1/x₃+ 0/x₄.

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами. Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоуголь­ную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения μ_А(х), на оси абсцисс в произвольном порядке распо­ложены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упо­рядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает нагляд­ными простые логические операции над нечеткими множествами (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций: α— нечеткое множество А; б — нечеткое множество ̅А, в — А ⋂ ̅А; г—A ∪ ̅А

На рис. 1.3α заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.3б, в, г даны ̅А, А ⋂  ̅A, A U  ̅А.

Свойства операций ∪ и ⋂

Пусть А, В, С — нечеткие множества, тогда выполняются сле­дующие свойства:

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем

случае:

A ⋂ ̅A ≠ ∅, A ∪ ̅A ≠ E

 (что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими мно­жествами основаны на использовании операций maxи min. В те­ории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объеди­нения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысло­вые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».