Треугольные нормы и конормы

Один из подходов к операторам пересечения и объединения за­ключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой(t-нормой) называется бинарная операция (двуместная действительная функция)

удовлетворяющая следующим условиям:

1. Ограниченность:  .

2. Монотонность:  .

3. Коммутативность:  .

4. Ассоциативность:  .

Примеры треугольных норм

min(μ_A, μ_B)

Произведение μA· μB

max(0, μ_A+ μ_B - 1).

Треугольной конормой (сокращенно   -конормой) называется двухместная действительная функция

,

удовлетворяющая следующим условиям:

1. Ограниченность:  .

2. Монотонность:  .

3. Коммутативность:  .

4. Ассоциативность:  .

Треугольная конорма   является архимедовой, если она непрерывна и для любого нечеткого множества   выполнено неравенство  .

Она называется строгой, если функция   строго убывает по обоим аргументам.

Примеры t-конорм

max(μ_A, μ_B)

μ_A+ μ_B- μ_A· μ_B

min(1, μ_A+ μ_B).

Примерами треугольных конорм являются следующие операторы:

Треугольная норма T и треугольная конорма S называются дополнительными бинарными операциями, если

T(a,b) + S(1 − a,1 − b) = 1

для  .

Наибольшей популярностью в теории Заде пользуются три пары дополнительных треугольных норм и конорм.

1) Пересечение и объединение по Заде:

T_Z(a,b) = min{a,b}, S_Z(a,b) = max{a,b}.

2) Пересечение и объединение по Лукасевичу:

.

3) Вероятностное пересечение и объединение:

Операторы дополнения

В теории нечетких множеств оператор дополнения не является единственным.

Помимо общеизвестного

,

существует целый набор операторов дополнения нечеткого множества.

Пусть задано некоторое отображение

.

Это отображение будет называться оператором отрицания в теории нечетких множеств, если выполняются следующие условия:

(1) 

(2) 

Если кроме этого выполняются условия:

(3)   — строго убывающая функция

(4)   — непрерывная функция

то она называется строгим отрицанием.

Функция   называется сильным отрицанием или инволюцией, если наряду с условиями (1) и (2) для нее справедливо:

(5)  .

Приведем примеры функции отрицания:

Классическое отрицание:  .

Квадратичное отрицание:  .

Отрицание Сугено:  .

Дополнение порогового типа:  .

Будем называть любое значение  , для которого  , равновесной точкой. Для любого непрерывного отрицания существует единственная равновесная точка.

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение А иВобозначается A·В и определяется так: 

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+ В и определяется так: 

Для операций {-, +} выполняются свойства:

Не выполняются:

Замечание.При совместном использовании операций { U, ⋂, + , • } выполняются свойства:

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень α нечеткого множества А, где α— положительное число. Нечеткое множество А^α определяется функцией принадлежности μ^α_A= μ^α_A(x). Частным случаем возведения в степень являются:

1)          CON(А) = А² — операция концентрирования (уплотнения);

2)          DIL(А) = А^0,5 — операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Иллюстрация к понятию операций концентрирования (уплотнения) и растяжения

Умножение на число. Если α — положительное число, такое, что  , то нечеткое множество αА имеет функцию принадлежности:

μ_αА(х) = αμ_A(x).

Выпуклая комбинация нечетких множеств.Пусть A₁, А₂,..., А_n— нечеткие множества универсального множества Е, aω₁, ω₂, …, ω_n— неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A₁, А₂, ..., А_nназывается нечеткое множество А с функцией принадлежности:

Декартово(прямое) произведение нечетких множеств. Пусть A₁, А₂, ..., А_n— нечеткие подмножества универсальных множеств Е₁, Е₂,…, Е_nсоответственно. Декартово, или прямое произведение А = А₁ x А₂ x... x А_n является нечетким подмно­жеством множества Е =Е₁ x Е₂ x... x Е_n с функцией принад­лежности:

Оператор увеличения нечеткостииспользуется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть А — нечеткое множество, Е— универсальное множество и для всех хϵЕопределены нечеткие множества К(х).Совокуп­ность всех К(х)называется ядром оператора увеличения нечетко­сти Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество Аявляется нечеткое множество вида

где μ_А(х)К(х) — произведение числа на нечеткое множество.

Пример. Пусть

Е = {1,2,3,4};  А = 0,8/1+ 0,6/2+ 0/3+ 0/4; К(1)=1/1 + 0,4/2;

К(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; К(3) = 1/3 + 0,5/4; К(4)= 1/4.

Тогда

Четкое множество α-уровня(или уровня α). Множеством α-уровня нечеткого множества А универсального множества Е на­зываетсячеткое подмножество А_α универсального множества Е,определяемое в виде

А_α = { x/μ_A(x) ≥ α },

где α ≤ 1.

Пример. Пусть А = 0,2/x₁+ 0/x₂+ 0,5/x₃+ 1/x₄, тогда A_0,3= { x₃, x₄ }, A_0,7 = { х₄ }.

Достаточно очевидное свойство: если α₁ ≥ 2, то А_α1 ≤ А_α2.