21. Ограниченные множества. Свойства верхних и нижних границ.

Ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер.

Множество вещественных чисел   называется ограниченным сверху, если существует число  , такое что все элементы   не превосходят  :

Множество вещественных чисел   называется ограниченным снизу, если существует число  ,

такое что все элементы   не меньше  : 

Множество  , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество  , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

 

22. Числовая последовательность. Предел последовательности. Лемма о двух милиционерах.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Пусть   — это либо множество вещественных чисел  , либо множество комплексных чисел  . Тогда последовательность   элементов множества  называется числовой последовательностью.

Пример.

Функция   является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид  .

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Теорема о двух милиционерах…

Если функция   такая, что   для всех   в некоторой окрестности точки  , причем функции   и   имеют одинаковый предел при  , то существует предел функции   при  , равный этому же значению, то есть

Доказательство:

Из неравенства   получаем неравенство  . Тогда верно неравенство  . Условие   позволяет предположить, что для любого   существует окрестность  , в которой верны неравенства   и  . Из изложенной выше оценки максимумом следует, что   при  , что удовлетворяет определению предела, то есть  ^[1].

23. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть { } – сходящаяся послеовательность и число a – ее педел. Пусть, далее, - произвольное положительное число и N – номер, начиная с которого выполняется неравенство | - a|< . Тогда

для всех n>N. Пусть A=max{|a|+ Очевидно, | | для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {Xn}.

24.Теорема о сумме и произведений сходящихся последовательностей.

 

25. Теорема о частном сходящихся последовательностей.

26. Теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательности.

 Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть   – ограниченная, а   – бесконечно малая последовательности. Это означает, что существует число М>0 такое, что для любого номера n выполняется  , и для любого числа  существует номер N такой, что для всех номеров  выполняется  . Тогда для всех номеров  и любого ε>0 выполняется  , а это и означает, что последовательность   – бесконечно малая.