27.Бесконечно большая последовательность .Монотонные последовательности. Число e.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828.

28. Функция. Обратные функции. Суперпозиция функций. Предел функции. Теоремы о пределах.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами из другого множества.

Другими словами, функция — это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

Суперпози́ция фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.

Преде́л фу́нкции — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Теоремы о пределах функции:

29. Сравнение бесконечно малых. Односторонние пределы функций.

Сравнение бесконечно малых:

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же   величины   и   (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если  , то   — бесконечно малая высшего порядка малости, чем  . Обозначают   или  .

• Если  , то   — бесконечно малая низшего порядка малости, чем  . Соответственно   или  .

• Если   (предел конечен и не равен 0), то   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как   или как одновременное выполнение отношений   и  . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

• Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина   имеет  -й порядок малости относительно бесконечно малой  .

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Пусть на некотором числовом множестве   задана числовая функция   и число   — предельная точка области определения  . Существуют различные определения для односторонних пределов функции   в точке  , но все они эквивалентны.

30.Непрерывные функции. Классификация точек разрыва. Свойства непрерывных функций.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв.