Системы линейных алгебраических уравнений.
Координаты в новом базисе.
Задача 9.
Найти новые координаты вектора (5,4).
Ответ. Координаты в новом базисе (4,1).
Задача 10. Дан базис в пространстве:
.
Найти новые координаты вектора (0,3,4).
Ответ. Координаты в новом базисе
.
Неопределённые системы (
).
Задача. Решить неоднородную систему
Ответ. Общее решение
.
Частные решения, например:
частное решение
.
частное решение
.
Задача. Решить неоднородную систему
Ответ. Общее решение:
.
Если задать, например,
получим частное решение:
.
Задача. Решить неоднородную систему
Ответ. Общее решение
.
Частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или
(3,-3,2) ... их бесконечно много.
Однородные системы.
Задача. Решить однородную систему:
Ответ. Общее решение
,
ФСР
.
Задача. Решить однородную систему
.
Ответ. Общее решение:
,
ФСР
.
Задача. Решить однородную систему
Ответ. Общее решение:
.
ФСР это множество из 2 векторов: {
,
}.
Задача. Решить однородную систему,
найти ФСР.
Ответ. Общее решение:
,
.
ФСР из 2 векторов:
.
Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.
Ответ. Общее решение:
.
ФСР:
Задача. Решить однородную систему, найти ФСР.
Ответ. Общее решение:
.
ФСР:
,
,
.
Задача. Решить однородную систему, найти ФСР:
Ответ. Общее решение
,
.
ФСР (-3,5,1,0) и (-5,4,0,1).
Задача. Решить однородную систему,
найти ФСР
Ответ. Общее решение:
,
,
ФСР:
.
Линейные операторы, собственные векторы.
Задача 1. Построить матрицу линейного
оператора в 2-мерном пространстве, если
действие оператора задано таким образом:
.
Ответ. Матрица линейного оператора
.
Задача. Построить матрицу линейного
оператора в 3-мерном пространстве
Ответ. Матрица линейного оператора
.
Задачи на поиск собственных чисел и векторов.
Задача 4. Найти собственные числа
и векторы для матрицы
.
Ответ.
вектор
,
вектор (1,1).
Задача. Найти собственные числа и
векторы
Ответ. Кратный корень
два вектора: (1,0,2) (0,1,2),
Корень
вектор (1,0,3).
Задача. Доказать, что линейный
оператор
не имеет собственных векторов.
Задача. Доказать, что для оператора
поворота
в общем случае нет собственных векторов,
и найти такие углы
,
при которых собственные векторы есть.
Ответ.
Задача. Найти собственные числа и
векторы для линейного оператора
.
Ответ. Собст. число
собст. вектор
,
собст. число
собст. вектор (0,1,1),
собст. число
собст. вектор
.
Задача. Найти собственные числа и
векторы
Ответ. собственный вектор (1,2,3),
собственный вектор (1,1,1),
собственный вектор (2,1,1).
Квадратичные формы.
Задача. Построить матрицу квадратичной формы:
.
Ответ. Матрица
.
Задача. Квадратичную форму
привести к главным осям.
Ответ. Кв.форма:
,
новый базис
и
.
Задача. Квадратичную форму
привести к главным осям. Ответ.
,
новый базис
и
.
Задача 5. Привести к главным осям квадратичную форму:
Q(x,y)
= 14
+24
+21
.
Ответ.
30
+5
,
новый базис:
и
.