Условные экстремумы.
Задача. Дана функция
.
Найти условные экстремумы этой функции
на окружности
.
Ответ. Точка
условный максимум,
условный минимум.
Задача. Найти условный экстремум
функции
при условии, что
.
Ответ. Точка
условный минимум.
Задача. Найти наибольшее и наименьшее
значение функции
в области
.
Ответ. Наименьшее
наибольшее
.
Задача. Найти отношение высоты к радиусу основания цилиндра, такое, что при фиксированном объёме получалась наименьшая площадь поверхности.
Ответ.
.
Выпуклость графика и асимптоты.
Задача. Найти интервалы выпуклости
вверх и выпуклости вниз и асимптоты
графика функции
.
Ответ.
и
выпуклый вверх, на остальных вниз.
Точки перегиба
.Асимптота
.
Задача. Найти асимптоты графика
функции
.
Ответ. Вертикальная
и наклонная
.
График:
Задача . Найти асимптоты графика
функции
.
Ответ. Две односторонние асимптоты
и
.
Задача. Найти асимптоты графика
функции
.
Ответ. На правой полуплоскости
наклонная асимптота
,
на левой горизонтальная асимптота
.
Повторение перед контрольными,
прочие задачи в конце семестра.
Задача. (Производная функции, заданной
неявно).
.
Найти производную в точке (1,1).
Ответ.
.
Задача. Дано:
.
Точка движется по прямой:
.
Вычислить
с помощью формулы полной производной
и без её использования.
Ответ.
.
Задача. Вывести формулу
.
Задача. Найти производную для
.
Ответ.
.
Задача. Найти 1-ю производную
.
Ответ.
.
Задача. Найти 1-ю и 2-ю производную
и
.
Ответ.
,
,
.
Задача. Найти градиент функции
в точке
и производную по направлению
.
Ответ.
,
.
Задача. Найти уравнение касательной
для
в точке
и высоту касательной при
.
Ответ. Уравнение
,
.
Задача. Найти экстремумы для
.
Ответ. и минимумы, максимум.