Формула полной вероятности

Если B1,B2,…,Bn — несовместные и в сумме дают достоверное событие, то вероятность события A можно вычислить, зная вероятности событий B1,B2,…,Bn, а также условные вероятности этого события в предположении событий B1,B2,…,Bn. Выполняется следующая формула:

P(A)=P(A|B1)·P(B1)+P(A|B2)·P(B2)+…+P(A|Bn)·P(Bn).

Следующий пример показывает, что эта формула верна:

P(B2)=13

P(B1)=23

P(A|B2)=12

P(A|B1)=13

Ваза 2

Ваза 1

Во время испытания смешали шарики из двух ваз и вытащили случайный шарик. Рассмотрим события: A: шарик белого цвета, B1: шарик из первой вазы, B2: шарик из второй вазы. Поскольку доля белых шариков в первой вазе равна 13, а во второй вазе равна 12, то условные вероятности равны P(A|B1)=13 и P(A|B2)=12. В первой вазе 24 шарика, а во второй — 12 шариков. Поэтому вероятности событий B1 и B2: P(B1)=23, P(B2)=13. Тогда вероятность вытащить белый шарик: P(A)=P(A|B1)·P(B1)+P(A|B2)·P(B2)= 13·23+12·13=29+16=718. Можно проверить результат: всего в двух вазах 36 шариков, из них 14 белых. Поэтому P(A)=1436=718.

Условная вероятность

Основные теоремы теории вероятностей Теорема о произведении вероятностей

Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей событий: P(A·B)=P(A)·P(B).

Пусть, например, одновременно бросают два кубика. Количество очков, выпавших на кубиках, можно считать независимыми событиями. Поэтому вероятность того, что на обоих кубиках выпадет 6 очков, равна 16·16=136.

Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: P(A·B)=P(A)·P(B|A).

Приведем пример пары событий, для которых выполняется формула P(A·B)=P(A)·P(B|A), но не выполняется формула P(A·B)=P(A)·P(B). Для любого дня в октябре вероятность того, что в Лондоне идет дождь, равна 0,3. При этом если в какой-то день шел дождь, то вероятность того, что на следующий день пойдет дождь, равна 0,7. Найдем вероятность того, что и 1-го и 2-го октября следующего года в Лондоне будет идти дождь: она равна P(A·B)=P(A)·P(B|A)=0,3·0,7=0,21. В последнем равенстве события A и B соответственно означают, что 1-го и 2-го октября следующего года будет идти дождь. Легко видеть, что если вычислять вероятность по формуле P(A·B)=P(A)·P(B), то мы получим заниженную оценку: 0,09. Это связано с тем, что события A и B — зависимые, поскольку вероятность дождя 2-го октября зависит от того, был ли дождь 1-го октября.

Рассмотрим еще один пример:

P(A·B)=P(B)·P(A|B)=13·23=29

Событие B: шарик из 1-й вазы

Событие A: шарик белый

Ваза 2

Ваза 1

Во время испытания смешали шарики из двух ваз и вытащили случайный шарик. Рассмотрим события: A: шарик белого цвета, B: шарик из первой вазы. В первой вазе было 24 шарика, а во второй — 12. Поэтому вероятность того, что шарик из первой вазы, равна P(B)=23. Поскольку доля белых шариков в первой вазе равна 13, то P(A|B)=13. Тогда P(A·B)=P(B)P(A|B)=23·13=29. Можно проверить результат: всего в двух вазах 36 шариков, из них 8 белые из первой вазы. Поэтому P(A·B)=836=29.