Теорема о сумме вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B).

Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A·B).

Если изобразить события A и B в виде множеств на плоскости, то легко убедиться, что эти утверждения выполняются.

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A·B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

A и B несовместные

B

A

A и B совместные

A·B

B

A

A+B

Следующие примеры иллюстрируют эти утверждения:

1. Несовместные события. Вероятность того, что на кубике выпало число очков, кратное трем равно сумме вероятностей того, что на кубике выпало 3 очка и 6 очков. 2. Совместные события. Пусть событие A состоит в том, что число очков на кубике кратно 3, а B в том, что оно кратно двум. Событие A состоит из двух результатов, а B — из трех: A=3,6, B=2,4,6. Сумма событий A+B состоит из четырех результатов: 2,3,4,6, а пересечение — из одного результата: A·B=6. Легко видеть что последнее равенство выполняется: P(A+B)=46=26+36−16=P(A)+P(B)−P(A·B).

Формула полной вероятности

Если B1,B2,…,Bn — несовместные и в сумме дают достоверное событие, то вероятность события A можно вычислить, зная вероятности событий B1,B2,…,Bn, а также условные вероятности этого события в предположении событий B1,B2,…,Bn. Выполняется следующая формула:

P(A)=P(A|B1)·P(B1)+P(A|B2)·P(B2)+…+P(A|Bn)·P(Bn).

Следующий пример показывает, что эта формула верна:

P(B2)=13

P(B1)=23

P(A|B2)=12

P(A|B1)=13

Ваза 2

Ваза 1

Во время испытания смешали шарики из двух ваз и вытащили случайный шарик. Рассмотрим события: A: шарик белого цвета, B1: шарик из первой вазы, B2: шарик из второй вазы. Поскольку доля белых шариков в первой вазе равна 13, а во второй вазе равна 12, то условные вероятности равны P(A|B1)=13 и P(A|B2)=12. В первой вазе 24 шарика, а во второй — 12 шариков. Поэтому вероятности событий B1 и B2: P(B1)=23, P(B2)=13. Тогда вероятность вытащить белый шарик: P(A)=P(A|B1)·P(B1)+P(A|B2)·P(B2)= 13·23+12·13=29+16=718. Можно проверить результат: всего в двух вазах 36 шариков, из них 14 белых. Поэтому P(A)=1436=718.

4.1. Частная теорема о повторении опытов

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие , причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события  в результате серии опытов. Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас, как правило, интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий. В подобных задачах требуется уметь определять вероятность любого заданного числа появлений события в результате серии опытов. Такие задачи и будут рассмотрены в данной главе. Они решаются весьма просто в случае, когда опыты являются независимыми.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Например, несколько последовательных бросаний монеты представляют собой независимые опыты. Несколько последовательных выниманий карты из колоды представляют собой независимые опыты при условии, что вынутая карта каждый раз возвращается в колоду и карты перемешиваются; в противном случае это – зависимые опыты. Несколько выстрелов представляют собой независимые опыты только в случае, если прицеливание производится заново перед каждым выстрелом; в случае, когда прицеливание производится один раз перед всей стрельбой или непрерывно осуществляется в процессе стрельбы (стрельба очередью, бомбометание серией), выстрелы представляют собой зависимые опыты. Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события  от опыта к опыту меняется. К первому случаю относится частная теорема, а ко второму – общая теорема о повторении опытов. Мы начнем с частной теоремы, как более элементарной. Прежде всего, рассмотрим конкретный пример.

Пример. Производится три независимых выстрела по мишени, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна . Найти вероятность того, что при этих трех выстрелах мы получим ровно два попадания.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что в мишень попадет ровно два снаряда. Это событие может произойти тремя способами:

1) попадание при первом выстреле, попадание при втором, промах при третьем;

2) попадание при первом выстреле, промах при втором, попадание при третьем;

3) промах при первом выстреле, попадание при втором, попадание при третьем.

Следовательно, событие можно представить как сумму произведений событий:

,

где  - попадания при первом, втором, третьем выстрелах соответственно,  - промах при первом, втором, третьем выстрелах.

Учитывая, что три перечисленных варианта события  несовместны, а события, входящие в произведения, независимы, по теоремам сложения и умножения получим:

,

или, обозначая ,

.

Аналогичным образом, перечисляя все возможные варианты, в которых интересующее нас событие может появиться заданное число раз, можно решить и следующую общую задачу.

Производится  независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появится некоторое событие ; вероятность появления события  в каждом опыте равна , а вероятность непоявления . Требуется найти вероятность  того, что событие  в этих  опытах появится ровно  раз.

Рассмотрим событие , состоящее в том, что событие  появится в  опытах ровно  раз. Это событие может осуществиться различными способами. Разложим событие на сумму произведений событий, состоящих в появлении или непоявлении события  в отдельном опыте. Будем обозначать  появление события  в i-м опыте;  - непоявление события  в i-м опыте.

Очевидно, каждый вариант появления события  (каждый член суммы) должен состоять из m появлений события  и  непоявлений, т.е. из  событий  и  событий  с различными индексами. Таким образом,

причем в каждое произведение событие  должно входить  раз, а  должно входить  раз.

Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. числу способов, какими можно из  опытов выбрать , в которых произошло событие . Вероятность каждой такой комбинации, по теореме умножения для независимых событий, равна . Так как комбинации между собой несовместны, то, по теореме сложения, вероятность события  равна

Таким образом, мы можем дать следующую формулировку частной теоремы о повторении опытов.

Если производится  независимых опытов, в каждом из которых событие  появляется с вероятностью , то вероятность того, что событие  появится ровно  раз, выражается формулой

,              (4.1.1)

где .

Формула (4.1.1) описывает, как распределяются вероятности между возможными значениями некоторой случайной величины – числа появлений события  при  опытах.

В связи с тем, что вероятности  по форме представляют собой члены разложения бинома , распределение вероятностей вида (4.1.1) называют биномиальным распределением.

Основные определения. Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.

Пусть - произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется действительная числовая функция  = ( ),   , такая, что при любом действительном x .

Событие принято записывать в виде  < x. В дальнейшем случайные величины будем обозначать строчными греческими буквами  ,  ,  , …

Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6} ; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I=[100, 3000]).

Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если  .- случайная величина, то функция F(x) = F_ (x) = P( < x) называется функцией распределения случайной величины  . Здесь P( < x) - вероятность того, что случайная величина  принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

• F(x) определена на всей числовой прямой R;

• F(x) не убывает, т.е. если x₁ x₂, то F(x₁) F(x₂);

• F(- )=0, F(+ )=1, т.е. и ;

• F(x) непрерывна справа, т.е.

.

Функция распределения дискретной случайной величины

Если  - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения F_ (x) непрерывна, то случайная величина  называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_ (x), которая связана с функцией распределения F_ (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд. Группированная выборка. Группированный статистический ряд. Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.

Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики являются:

- определение способов сбора и группировки этих статистических данных;

- разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к которым относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других случайных величин и т.д.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения.

Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз относительно исследуемого признака этих объектов.

Определим основные понятия математической статистики.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Виды выборки:

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Замечание. Для того, чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведе-нии интересующего нас признака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка правиль-но представляла пропорции генеральной совокупности, то есть была репрезентативной (представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта вероятность попасть в выборку одинакова.

                           Первичная обработка результатов.

Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х₁ п₁ раз, х₂ – п₂ раз, …, х_к – п_к раз, причем  где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х₁, х₂,…, х_к  называют вариантами, а п₁, п₂,…, п_к – частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты  Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – стати-стическим рядом:

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk
wi	w1	w2	…	wk

Пример.

При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1.Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5. Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:

xi	0	1	2	3	4	5
ni	3	6	5	3	2	1
wi	0,15	0,3	0,25	0,15	0,1	0,05

Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную выборку. Для ее получения интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h, а затем находят для каждого частичного интервала n_i – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Составленная по этим результатам таблица называется группированным статистическим рядом:

Номера интервалов	1	2	…	k
Границы интервалов	(a, a + h)	(a + h, a + 2h)	…	(b – h, b)
Сумма частот вариант, попав- ших в интервал	n1	n2	…	nk

             Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁, n₁), (x₂, n₂),…, (x_k, n_k), где x_iоткладываются на оси абсцисс, а n_i– на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (n_i), а относительные (w_i) частоты, то получим полигон относительных частот (рис.1). Рис. 1.

По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события  X < x.

Определение 15.1. Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события        X < x. Таким образом,

                                                  ,                                                          (15.1)

где п_х – число вариант, меньших х, п – объем выборки.

Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а  F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x).

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:

1)      0 ≤ F*(x) ≤ 1.

2)      F*(x) – неубывающая функция.

3)      Если х₁ – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х₁; если х_к – наибольшая варианта, то  F*(x)  = 1 при х > х_к .

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной n_i /h (гистограмма частот) или  w_i /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице (рис.2). Рис.2.

6.3. Статистические оценки параметров распределения След. »

Пусть дискретная случайная величина Х задана генеральной совокупностью. Требуется оценить количественные характеристики заданной совокупности: математическое ожидание, дисперсию и установить функцию распределения дискретной случайной величины Х. Обычно практически известны лишь данные выборки. Через эти данные следует оценить количественные характеристики дискретной случайной величины Х. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистические оценки параметров распределения должны удовлетворять следующим требованиям: состоятельности, несмещённости, эффективности. Состоятельной называют статистическую оценку, которая при неограниченном увеличении числа наблюдений стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Несмещённой называют статистическую оценку, если её математическое ожидание равно оцениваемой характеристике независимо от числа наблюдений. Несмещённая статистическая оценка называется эффективной, если она имеет минимально возможную дисперсию. Генеральная средняя и выборочная средняя Пусть задана дискретная случайная величина Х в виде генеральной совокупности. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности:   . (6.2) где xi – варианта генеральной совокупности, ni – частота варианты xi, . N– все возможные значения частот дискретной случайной величины Х. В частном случае, когда генеральная совокупность содержит по одному значению каждой варианты, генеральная средняя равна:   . (6.2а) Если рассматривать значения Х генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание М(Х) равно генеральной средней М(Х)= xг, а генеральная средняя определяется как математическое ожидание: xг = М(Х). Пусть извлечена выборка объема n из генеральной совокупности относительно количественного признака X. Выборочной средней`x называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.   , (6.3) где . В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная средняя равна:   . (6.3а) Аналогично генеральной совокупности можно сделать вывод относительно выборочной средней. Если рассматривать значения Х выборки, как случайную величину, то математическое ожидание m(Х) равно выборочной средней:   . (6.4) Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения xг. Рассеяние значений количественного признака X в выборке вокруг своего среднего значения`x характеризует выборочная дисперсия. Выборочной дисперсией Dв называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения .   . (6.5) В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная дисперсия равна:   . (6.5а) Пример 4. Выборочная совокупность задана таблицей распределения в примере 1. Таблица 6.6 i 1 2 3 4 xi 2 3 5 10 ni 5 5 3 2 Найти выборочное математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение для распределения, заданного таблицей 6.6. Решение. Выборочная средняя вычисляется по формуле (6.4): Выборочная дисперсия Dв вычисляется по формуле (6.5): Выборочное среднее квадратическое отклонение: . В задачах выборочная совокупность может быть задана таблицей распределения с относительной частотой. Рассмотрим пример 4, заменив в таблице 6.6 последнюю строку относительной частотой pi=ni/n. В примере n=15. Выборочная дисперсия Dв вычисляется по данным таблицы 6.7. Таблица 6.7 i 1 2 3 4 xi 2 3 5 10 pi P1 =5/15 P2 =5/15 P3 =3/15 P4 =2/15 Выборочная дисперсия Dв может быть вычислена как с использованием относительной частоты, так и абсолютной частоты. Характеристики случайной величины, построенные на основании выборочных данных, называются выборочными или точечнымиоценками. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные в примере 4, являются точечными.

Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго рода,  уровня значимости, статистического критерия, критической области, области принятия гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критические точки. Мощность критерия. Критерии для проверки гипотез о вероятности события, о математическом ожидании, о сравнении двух дисперсий.

Определение 19.1. Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений.

Определение 19.2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀. Конкурирую-щей (альтернативной)  называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой.

Пример. Пусть Н₀ заключается в том, что математическое ожидание генеральной совокупности а = 3. Тогда возможные варианты Н₁: а) а ≠ 3;  б) а > 3; в) а < 3.

Определение 19.3. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение, сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Пример. Для показательного распределения гипотеза Н₀: λ = 2 – простая, Н₀: λ > 2 – сложная, состоящая из бесконечного числа простых ( вида λ = с, где с – любое число, большее 2).

В результате проверки правильности выдвинутой нулевой гипотезы ( такая проверка называется статистической, так как производится с применением методов математичес-кой статистики) возможны ошибки двух видов: ошибка первого рода, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, заключаю-щаяся в том, что будет принята неверная гипотеза.

Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверяется правильность выбора метода лечения больного, то ошибка первого рода означает отказ от правильной методики, что может замедлить лече-ние, а ошибка второго рода (применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния больного и является более опасной.

Определение 19.4. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.

   Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон распределения.

Определение 19.5. Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы.

Определение 19.6. Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Итак, процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов:

1)      выбирается статистический критерий К;

2)      вычисляется его наблюдаемое значение К_набл по имеющейся выборке;

3)      поскольку закон распределения К известен, определяется (по известному уровню значимости α) критическое значение k_кр, разделяющее критическую область и область принятия гипотезы (например, если р(К > k_кр) = α, то справа от k_кр распо-лагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы);

4)      если вычисленное значение К_набл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза отвергается.

Различают разные виды критических областей:

- правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K > k_кр ( k_кр > 0);

- левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < k_кр ( k_кр < 0);

- двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K < k₁, K > k₂        (k₂ > k₁).

Определение 19.7. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза.

Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) β, то мощность критерия равна 1 – β. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.

      Критерий для проверки гипотезы о вероятности события.

Пусть проведено п независимых испытаний (п – достаточно большое число), в каждом из которых некоторое событие А появляется с одной и той же, но неизвестной вероятностью р, и найдена относительная частота  появлений А в этой серии испытаний. Проверим при заданном уровне значимости α нулевую гипотезу Н₀, состоящую в том, что вероятность р равна некоторому значению р₀.

   Примем в качестве статистического критерия случайную величину

                         ,                                                                        (19.1)

имеющую нормальное распределение с параметрами M(U) = 0, σ(U) = 1 (то есть нормиро-ванную). Здесь q₀ = 1 – p₀. Вывод о нормальном распределении критерия следует из теоремы Лапласа (при достаточно большом п относительную частоту можно приближенно считать нормально распределенной с математическим ожиданием р и средним квадрати-ческим отклонением ).

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

1)                 Если Н₀: р = р₀, а Н₁: р ≠ р₀, то критическую область нужно построить так, чтобы вероятность попадания критерия в эту область равнялась заданному уровню значимости α. При этом наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда критическая область состоит из двух интервалов, вероятность попадания в каждый из которых равна . Поскольку U симметрична относительно оси Оу, вероятность ее попадания в интервалы (-∞; 0) и (0; +∞) равна 0,5, следовательно, критическая область тоже должна быть симметрична относительно Оу.  Поэтому  и_кр определяется по таблице значений функции Лапласа из условия , а критическая область имеет вид . 

Замечание. Предполагается, что используется таблица значений функции Лапласа, заданной в виде , где нижний предел интегрирования равен 0, а не -∞. Функция Лапласа, заданная таким образом, является нечетной, а ее значения на 0,5 меньше, чем значения стандартной функции Ф(х) (см. лекцию 6).

Далее нужно вычислить наблюдаемое значение критерия:

                         .                                                     (19.2)

Если |U_набл| < u_кр, то нулевая гипотеза принимается.

Если |U_набл| > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

2) Если конкурирующая гипотеза Н₁: р > p₀, то критическая область определяется неравенством U > u_кр, то есть является правосторонней, причем  р(U > u_кр) = α. Тогда . Следовательно, и_кр можно найти по таблице значений функции Лапласа из условия, что . Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле (19.2).

Если U_набл < u_кр, то нулевая гипотеза принимается.

Если U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

3) Для конкурирующей гипотезы Н₁: р < p₀ критическая область является левосторонней и задается неравенством U <- u_кр, где и_кр вычисляется так же, как в предыдущем случае.

Если U_набл > - u_кр, то нулевая гипотеза принимается.

Если U_набл < - u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

Пример. Пусть проведено 50 независимых испытаний, и относительная частота появления события А оказалась равной 0,12. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу Н₀: р = 0,1 при конкурирующей гипотезе Н₁: р > 0,1. Найдем  Критическая область является правосторонней, а и_кр нахо-дим из равенства Ф(и_кр) = Из таблицы значений функции Лапласа определяем и_кр = 2,33. Итак, U_набл < u_кр, и гипотеза о том, что р = 0,1, принимается.

                 Критерий для проверки гипотезы о математическом ожидании.

Пусть генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение, и требуется проверить предположение о том, что ее математическое ожидание равно некоторому числу а₀. Рассмотрим две возможности.

1) Известна дисперсия σ² генеральной совокупности. Тогда по выборке объема п найдем выборочное среднее  и проверим нулевую гипотезу Н₀: М(Х) = а₀.

Учитывая, что выборочное среднее  является несмещенной оценкой М(Х), то есть М( ) = М(Х), можно записать нулевую гипотезу так: М( ) = а₀. Для ее проверки выберем критерий

                                   .                                     (19.3)

Это случайная величина, имеющая нормальное распределение, причем, если нулевая гипотеза справедлива, то М(U) = 0, σ(U) = 1.

Выберем критическую область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы:

- если Н₁: М( ) ≠ а₀, то и_кр: , критическая область двусторонняя, , и, если |U_набл| < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если |U_набл| > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М( ) > а₀, то и_кр: , критическая область правосторонняя, и, если U_набл < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М( ) < а₀, то и_кр: , критическая область левосторонняя, и, если U_набл > - u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл < - u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

2) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

В этом случае выберем в качестве критерия случайную величину

                                             ,                                            (19.4)

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение. Такая случайная величина имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Рассмотрим те же, что и в предыдущем случае, конкурирующие гипотезы и соответствующие им критические области. Предварительно вычислим наблюдаемое значение критерия:

                                            .                                         (19.5)

- если Н₁: М( ) ≠ а₀, то критическая точка t_{двуст.кр.} находится по таблице критических точек распределения Стьюдента по известным α и k = n – 1.

Если | T_набл | < t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза принимается.

Если | T_набл | > t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М( ) > а₀, то по соответствующей таблице находят t_{правост.кр.}(α, k) – критичес-кую точку правосторонней критической области. Нулевая гипотеза принимается, если

 T_набл  < t_{правост.кр.}.

- при конкурирующей гипотезе Н₁: М( ) < а₀ критическая область является левосторон-ней, и нулевая гипотеза принимается при условии T_набл  > - t_{правост.кр.}. Если                      T_набл  < -  t_{правост.кр.}., нулевую гипотезу отвергают.

         Критерий для проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий.

Пусть имеются две нормально распределенные генеральные совокупности Х и Y. Из них извлечены независимые выборки объемов соответственно п₁ и п₂, по которым вычислены исправленные выборочные дисперсии  и . Требуется при заданном уровне значимос-ти  α проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X) = D(Y) о равенстве дисперсий рассматривае-мых генеральных совокупностей. Учитывая несмещенность исправленных выборочных дисперсий, можно записать нулевую гипотезу так:

                               Н₀: М ( ) = М ( ).                      (19.6)

Замечание. Конечно, исправленные дисперсии, вычисленные по выборкам, обычно оказываются различными. При проверке гипотезы выясняется, является ли это различие незначимым и обусловленным случайными причинами (в случае принятия нулевой гипотезы) или оно является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны.

   В качестве критерия примем случайную величину

                                         -                                           (19.6)

- отношение большей выборочной дисперсии к меньшей. Она имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k₁ = n₁ – 1 и k₂ = n₂ – 1, где п₁ – объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, а п₂ – объем второй выборки. Рассмотрим два вида конкурирующих гипотез:

- пусть Н₁: D(X) > D(Y). Наблюдаемым значением критерия будет отношение большей из исправленных дисперсий к меньшей: . По таблице критических точек распреде-ления Фишера-Снедекора можно найти критическую точку F_набл(α; k₁; k₂). При

F_набл < F_кр нулевая гипотеза принимается, при F_набл > F_кр отвергается.

- если Н₁: D(X) ≠ D(Y), то критическая область является двусторонней и определяется неравенствами F < F₁, F > F₂, где р(F < F₁) = р( F > F₂) = α/2. При этом достаточно найти правую критическую точку F₂ = F_кр ( , k₁, k₂). Тогда при F_набл < F_кр нулевая гипотеза принимается, при F_набл > F_кр отвергается.