5 Сложное движение точки (Задача к2)

5.1 Условие задачи

Пластина (рис.8) вращается вокруг неподвижной оси перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О₁ (задача первого типа) (варианты 1, 3, 4, 9, 10, 20 – 25) или относительно неподвижной оси АВ, лежащей в плоскости чертежа (задача второго типа) (варианты 2, 5, 7, 8, 11, 13 – 19, 26 – 30) по закону .

По пластине движется точка М в соответствии с законом (S_r – в сантиметрах, t – в секундах). Исходные данные к расчету приведены в таблице. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для заданного момента времени t = t₁.

1. 5.2 Пример решения задачи первого типа

Исходные данные:

– ось вращательного движения пластины перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку О₁ (рис. 4, 5);

– закон вращательного движения пластины: (рад);

– закон движения точки по поверхности пластины: (м);

– размер пластины: b = 40 см;

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для момента времени t = t₁= 1 с.

Решение

1. Квадратная пластина со стороной b (рис. 4) вращается в плоскости чертежа относительно оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через точку О₁. Подвижная система координат жестко связана с пластиной. Точка М совершает сложное движение:

• относительное – вдоль прямолинейного канала пластины;

• переносное – вместе с вращающейся пластиной.

2. Считаем, что положение пластины на рисунке соответствует углу поворота в заданный момент времени t₁ = 1 c.

3. Определим положение точки М на вращающейся пластине в заданный момент времени t₁ = 1 с:

S_r = OM = 20 t² = = 20 см.

Изобразим точку на пластине в заданном положении (рис. 4).

4. Найдем абсолютную скорость точки М по формуле

. (8)

Для определения модуля относительной скорости точки (V_r) продифференцируем по времени закон ее относительного движения:

При t₁ = 1 c, V_r = 40 = 40 cм/с. Вектор направлен в сторону, соответствующую положительному направлению относительной координаты S.

Рисунок 4 – Схема к определению абсолютной скорости точки

В переносном движении точка М в заданный момент времени движется вместе с вращающейся пластинкой по окружности радиуса О₁М. Величину скорости точки при переносном вращательном движении найдем по формуле

где с^-1.

Положительное значение угловой скорости соответствует вращению пластины вокруг оси О₁ в направлении, указанном на рисунке, то есть противоположном движению часовой стрелки. Расстояние точки М до оси вращения определим по формуле:

Вектор переносной скорости направлен перпендикулярно радиусу О₁М в сторону переносной угловой скорости (рис. 4).

Модуль абсолютной скорости найдем по ее проекциям на оси координат:

(9)

Оси координат х и у направим, как показано на рисунке 4.

Для вычисления проекций абсолютной скорости на оси координат найдем значения тригонометрических функций:

Тогда:

5. Абсолютное ускорение точки найдем по формуле:

. (10)

В относительном движении точка движется по прямолинейной траектории, поэтому относительное ускорение характеризует изменение относительной скорости только по величине и определяется по формуле:

Вектор относительного ускорения (рис. 5) направлен так же, как и вектор относительной скорости, так как знаки и совпадают, то есть точка М совершает относительное движение с ускорением.

В переносном движении точка движется по криволинейной траектории – окружности радиуса О₁М, поэтому переносное ускорение будет представлено двумя составляющими:

_. (11)

Рисунок 5 – К определению абсолютного ускорения точки

В векторном уравнении (11) – нормальное ускорение, характеризует быстроту изменения переносной скорости точки по направлению, причем вектор направлен к оси вращения О₁:

Касательное ускорение – характеризует быстроту изменения переносной скорости по модулю, вектор направлен по касательной к траектории переносного движения точки:

где

– угловое ускорение пластины в ее переносном вращательном движении.

Численное значение при t₁ = 1 с определим из выражения:

Так как знаки угловой скорости и углового ускорения совпадают, то переносное вращательное движение является ускоренным.

Таким образом

Вектор направлен перпендикулярно вектору в сторону, соответствующую направлению углового ускорения переносного вращательного движения пластины (рис. 5).

Модуль ускорения Кориолиса определяют по формуле:

Вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости чертежа, то есть , тогда:

Так как ось вращения пластины перпендикулярна плоскости чертежа, то для определения направления вектора ускорения Кориолиса необходимо лишь повернуть вектор относительной скорости на 90⁰ в сторону, соответствующую направлению переносной угловой скорости (рис. 5).

С учетом (10) формула (11) для вычисления абсолютного ускорения точки примет вид:

(12)

Для нахождения модуля абсолютного ускорения спроецируем векторное равенство (12) на координатные оси:

Тогда

5.3 Пример решения задачи второго типа

Исходные данные:

– ось АВ вращательного движения пластины (рис. 6) находится в плоскости чертежа;

– закон вращательного движения пластины (рад);

– закон движения точки М по поверхности пластины

(м);

– радиус пластины R = 0,6 м.

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для момента времени t = t₁= 1 с.

Рисунок 6 – Исходная схема к решению задачи

Решение

1. Пластина радиуса R (рис. 6) вращается вокруг неподвижной вертикальной оси АВ (оси z), совпадающей с плоскостью чертежа. Точка М совершает сложное движение, состоящее из относительного движения точки по ободу пластины и переносного движения вместе с пластиной, совершающей вращательное движение. При этом в переносном движении точка перемещается по окружности, расположенной в плоскости, перпендикулярной оси вращения z, причем центр окружности находится на этой оси. Считаем, что в момент времени t = t₁=1 с, пластина заняла положение, показанное на рисунке 6.

2. Определим положение точки M на пластине в момент времени

t₁ = 1 с: м.

Рисунок 7 – Схема к определению абсолютных

скорости и ускорения точки

Дуге ОМ соответствует центральный угол:

Точка О соответствует начальному положению точки М на пластине, тогда угол отложим от горизонтального диаметра ОО₁ в сторону, соответствующую положительному направлению отсчета относительной координаты S (рис. 6) поскольку значение S_r положительно.

3. Определим абсолютную скорость точки по теореме о сложении скоростей:

Относительную скорость определим из закона относительного движения: м/c.

Численное значение относительной скорости положительно и поэтому вектор направляем по касательной к относительной траектории точки в сторону положительного отсчета относительной координаты S (рис.7).

Так как переносное движение является вращательным, переносная скорость точки зависит от угловой скорости вращения пластины и расстояния h до оси вращения:

где м;

с^-1.

Так как >0 , то пластина вращается в направлении, совпадающим с указанным на рисунке 7 углом ее поворота . При этом вектор угловой скорости совпадает с положительным направлением оси z. Тогда вектор переносной скорости будет направлен перпендикулярно отрезку МК в сторону вращения пластины, т.е. он направлен перпендикулярно плоскости чертежа (за чертеж, в противоположенную сторону от положительного направления оси x). Численное значение переносной скорости равно

Векторы относительной скорости и переносной скорости взаимно перпендикулярны, поэтому абсолютную скорость точки определим по формуле:

4. Абсолютное ускорение точки определим по теореме Кориолиса:

(13)

Так как в относительном и переносном движениях точка движется по криволинейным траекториям, то относительная и переносная скорости будут изменяться по модулю и направлению, а векторы ускорений и будут содержать касательную и нормальную составляющие. Тогда формула (13) примет вид

(14)

Относительное нормальное ускорение зависит от относительной скорости и радиуса кривизны траектории относительного движения точки, то есть радиуса R пластины:

Вектор направлен к точке О₁ – центру кривизны траектории точки М в ее относительном движении.

Относительное касательное ускорение характеризует изменение модуля относительной скорости с течением времени

Вектор направлен перпендикулярно вектору в сторону , так как знаки относительной скорости точки и ее относительного касательного ускорения совпадают.

Переносное нормальное ускорение зависит от угловой скорости вращающегося тела и расстояния до оси вращения:

Вектор направлен вдоль отрезка МК к оси вращения пластины, т.е. к центру траектории точки в ее переносном движении. Переносное касательное ускорение точки зависят от углового ускорения пластины и расстояния от точки М до оси вращения пластины:

где

Знак углового ускорения совпадает со знаком угловой скорости, следовательно, переносное вращательное движение является ускоренным

Вектор направлен перпендикулярно вектору и совпадает с направлением вектора переносной скорости , так как знаки их численных значений одинаковы.

Модуль ускорения Кориолиса определим по формуле (6) с учетом того, что угол между векторами и составляет 60⁰:

м/с. (15)

Для определения направления вектора ускорения Кориолиса воспользуемся правилом Жуковского, в соответствии с которым вектор будет направлен перпендикулярно плоскости чертежа в сторону, соответствующую положительному направлению оси х.

Модуль абсолютного ускорения точки найдем, проецируя векторное равенство (4.39) на координатные оси:

(16)

где

Тогда численное значение абсолютного ускорения точки будет равно:

Таблица 2 – Исходные данные к задаче

Номер варианта		Уравнение движения тела	Уравнение относительного движения точки М		t1, с	R, см	а, см
1		2	3		4	5	6
1					0,5	15
2		2t2 + t			0,5
3		5t2			2	5
4			180 t2		1/3		20
5		t + t2			2	30
6		10t2 – 1			1/3		20
7					1	3
8					2	12
9		3t2			1/3	5
10					2	24
11					2	60
12					1	20
Продолжение таблицы
1		2	3		4	5	6
13			10 t3		2
14			15 t2		1		20
15					1/2	45
16		2t2			2	40
17			40 t2		1
18		0,5t3			1	30
19					1	40
20			45 t2		1/3	10
21		2 t+0,5 t2			1/3		20
22		3 t2 – 1			2		20
23		2 t2 - 1			1	50
24		0,5t2+t2			1		20
25			180 t2		1/3		20
26		4 t3			1	15
27		0,5 t2			1	10
28					1	40
29					2	80
30					1	20
	1			2
	3			4 а О1 R=5а О M R
	5			6

Рисунок 8 - Расчетные схемы к задаче

7	8
9	10
11	12

Рисунок 8, лист 2

13	14
15	16
17	18

Рисунок 8, лист 3

19	20
21	22
23	24

Рисунок 8, лист 4

B О 25	26
27	28
29	30

Рисунок 8, лист 5