10. Множество n натуральных чисел. Счетные множества. Теоремы о счетных множествах.

Первоначальный класс эквивалентности для бесконечных множеств порождается множеством натуральных чисел.

Классом эквивалентности А_х элемента хА называется множество элементов из А эквивалентных х:А_х = {y:yx, yA}. Различные классы не пересекаются, и каждый элемент множества входит хотябы в один из классов.

Множество А называется счетным, если его можно поставить во взаимно однозначное отношение с множеством натуральных чисел.

Каждый элемент а множества А имеет свой индивидуальный номер n и его будем записывать в виде а_n. Само множество А можно записать в виде последовательности перечислением элементов: А = {a₁,a₂,a₃,…,a_n,…}. Понятное, что если множество описывается подобным образом, то оно счетное.

Свойства счетных множеств описываются в теоремах:

Теорема 1. Любое подмножество счетного множества либо конечное, либо счетное множество.

Теорема 2. Если счетному множеству добавить один элемент, то получим счетное множество.

Теорема 3. Объединение счетного числа конечных или счетных множеств будет счетным множеством.

Теорема 4. Любое бесконечно множество содержит счетное подмножество.

Теорема 5 . Объединение счетного и произвольного бесконечного множества не изменяет класса эквивалентности последнего.

Теорема 6. Из произвольного бесконечного множества можно вычесть счетное подмножество таким образом, что оставшееся множество будет эквивалентно исходному множеству.

Приведенные формулировки теорем для класса счетных множеств, показывают, что счетные множества, как бесконечные, обладают новыми качествами по сравнению с конечными.

11. Множества мощности континуум. Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0,1].

Множества эквивалентные множеству чисел (или точек) отрезка (0,1) называются множествами типа континуум.

Множества типа континуум обладают еще больше экспансией по сравнению со счетными множествами. Назовем множества, входящие в этот класс эквивалентности: произвольный отрезок или интервал, вся числовая прямая, точки плоскости, трехмерного и n-го пространства, и, вообще, сумма счетного числа множеств мощности континуум есть множество мощности континуум. Теорема Кантора о том, что множество подмножеств данного множества по мощности больше самого множества, не позволяет останавливаться на множествах типа континуум и множетсво подмножеств интревала (0,1) образует следующий более мощный класс эквивалентности. Элементами множества этого класса будут функции заданные на (0,1). Данная теорема рисует бесконечную систему классов эквивалентности, на которую разбивается вся совокупность множеств.

Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка (0,1) (0<x<1)

Множество действительных чисел интервала [0,1] несчетно.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что множество чисел интревала (0,1) счетное множество и может быть представлено в виде последовательности чисел х₁,х₂,х₃,…,х_n,… Каждое из чисел х_n представляет собой правильную дробь и записывается в виде бесконечной десятичной дроби: х_n = 0, a_1n, a_2n, a_3n,…,a_kn… Величины а_kn представляют собой соответствующие десятичные разряды числа х_n, т.е. равны одному из целых чисел от 0 до 9. Одна и таже дробь может быть представлена в виде бесконечной десятичной дроби двояким образом. Например, дробь 0,1 и дробь 0,0(9) это одно и тоже действительное число, записанное разными десятичными дробями. Исключим дроби с девяткой в периоде, и тогда представление числа станет однозначным. При этом два числа х_n и х_m будут равны друг другу только в том случае, когда все разряды одного числа совпадут с разрядами второго числа: a_kn = a_km , (k=1,2,3,…).

Построим число у, которое принадлежит отрезку (0,1) и не равно ни одному из чисел х₁,х₂,х₃,…,х_n,… Это будет означать, что наше предположение о счетности множества (0,1) неверно и теорема будет доказана. Число у представим также в виде десятичной дроби у= 0, b₁,b_2,b₃,…,b_n…, каждый разряд которого b_n выберем отличным от разряда а_nn числа х_n . такой выбор разрядов числа у возможен многими способами,например, если а_nn = 2, b_n полагаем равным 3, если a_nn  3, то b_n = 3. ВИдно, что построение такие образом числу у отрезку (0,1) и не совпадает ни с одним из чисел х₁,х₂,х₃,…,х_n,…, т.к. с каждым из них оно отличается хотя бы в разряде. Теорема доказана.

12. Построение множества большей мощности, чем исходное. Теорема Кантора-Бернштейна (без доказательства) (Л).

Теорема. Множество подмножеств данного множества по мощности больше самого множества.

Теорема утверждает, что на основе любого множества (конечного или бесконечного) можно построить множество большей мощности и, следовательно, классов эквивалентности бесконечных множеств неограниченное количество.

1.Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность)

2.Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно однозначное соответствие.

3.Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

13. Общая структура бесконечности. Числовая прямая и ее конструктивное устройство.

Бесконечность — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры. Используется в противоположность конечному, исчисляемому, имеющему предел.

Одним из основных источников ранних представлений о бесконечности были натуральные числа и потенциальная бесконечность натурального ряда. Одним из первых нетривиальных результатов о бесконечности в теории чисел считается доказательство от противного бесконечности множества простых чисел в «Началах» Евклида: предполагая конечность множества простых чисел, прибавляя к их произведению единицу вновь получается простое число. => Единичное не изменяет бесконечное! Теоретико-числовое суждение о бесконечности представляет парадокс Галилея: каждому числу может быть сопоставлен его квадрат, то есть, квадратов не меньше, чем всех чисел, но при этом не из каждого числа можно извлечь корень, то есть, квадраты — только часть множества всех чисел.

Основной вклад в представление о бесконечности в математике внесён теорией множеств: идея актуальной бесконечности и разных сортов бесконечности занимают существенную часть этой теории.

Для измерения разных видов бесконечности в теории множеств вводится понятие мощности (кардинального числа), совпадающее с количеством элементов для конечных множеств, а для бесконечных множеств задействующее принцип биекции(взаимно-однозначности): если между множествами возможно установить взаимно-однозначное соответствие, то они равномощны. (Взаимно-однозначные отображения между множествами возможны тогда и только тогда, когда эти мн-ва имеют одинаковое кол-во элементов.) Так, оказывается, что множество натуральных чисел   равномощно множествам целых чисел ( ), чётных натуральных чисел, всех рациональных чисел ( ), а отрезок числовой прямой ( , континуум) оказывается во взаимно-однозначном соответствии со всей числовой прямой ( ), а также с  -мерным евклидовым пространством ( ) (Теорема Кантора о несчетности чисел отрезка (0,1). М={0<x<1} эквивалентно всей числовой прямой. Они из одного класса типа континуум. Все 3хмерное пространство эквивалентно отрезку (0,1). Любое N-мерное пространство – континуум.).

Т.е. между двумя рациональными числами всегда бесконечно много рациональных.

Множество рациональных чисел на числовой прямой счетно.