14. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа и их взаимное расположение на числовой прямой. Четвертая проблема Гильберта и ее решение (л).

Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}

Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, чтоZ={1,2,3,....}.

Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби, где m — целое число, а n — натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q. Все натуральные и целые числа – рациональные.

Иррациональные числа - это бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа – рациональные + иррациональные

координатная прямая – это прямая, на которой выбрано начало отсчета, указан единичный отрезок и задано направление. Нам известно, что на данной прямой линии лежит бесконечно много точек. Не является исключением и координатная прямая – она также содержит бесконечно много точек. Между точками координатной прямой и действительными числами существует очень важная связь, которую называют взаимно однозначным соответствием. Эта связь выражается следующим утверждением: каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.Вот почему координатную прямую очень часто называют числовой прямой. Точкам, лежащим правее начала отсчета на числовой прямой, соответствуют положительные числа, а точкам, лежащим левее начала отсчета, - отрицательные.

15. Комплексные числа и действия над ними. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Возникновение комплексных чисел связано с решением алгебраических уравнений. В некоторых случаях решение уравнения представлялось в двух видах: являлось действительным числом и имело вид формул с корнями из отрицательных чисел.

Комплексным числом z называется выражение x=a+bi, где a,b – действительные числа, а символ i ( или j в некоторых трудах) – мнимая единица.

Число а называется действительной частью мнимого числа z и обозначается Re z=a, число b – мнимой частью z и обозначается Im z=b, т.е. z=Rez+iImz.

Числами введенные объекты z становятся лишь тогда, когда для них будут определены арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление).

Арифметические операции над комплексными числами:

Пусть заданы два комплексных числа z₁=x₁ + iy₁, z₂ = x₂+ iy₂.

1. Сложение и вычитание z₁z₂ = (x₁x₂) + i(y₁y₂);

2. Умножение z₁z₂ = (x₁x₂ – y₁y₂) +i(x₁y₂ + x₂y₁);

Умножение образуется раскрытием скобок в выражении

(x₁ + iy₁)(x₂ +iy₂) и заменой i² на минус единицу (-1).

3. Деление z₁/z = x₁x₂+y₁y₂/ x₂²+y₂² +i x₂y₁-x₁y₂/x₂²y₂²

Деление основано на свойстве дробей не изменяться при умножении числителя и знаменателя на одно и тоже число. Достаточно дробь умножить на дробь , где число z₂=x₂ –iy₂ называется комплексно сопряженным числу z=x+iy. При этом числитель и знаменатель дроби умножаются соответсвенно на число z₂ комплексно сопряженное знаменателю.

Свойства комплексного сопряжения:

1. если z=z*, то z – действительное число;

2. (zz₂)* = z₁*z₂*;

3. (z₁z₂) = z₁*z₂*

4. (

(скобки под звездочкой, z₁ , z₂ – со звездочкой)

Модуль комплексного числа:

Число называется модулем |z| комплексного числа z: |z|= Очевидно, |z| =

Свойство модулей комплексных чисел:

1)|z₁z₂| = |z₁| * |z₂|;

2) |z| = |z*|;

3) |z₁/z₂| = |z₁| / |z₂|.

Комплексное число z=x+iy определяется упорядоченной парой чисел (х,у), что соответствует точке P(x,y) на плоскости в декартовой системе координат.

Взаимно однозначное соответствие комплексных чисел z=x+iy и точек P(x,y) плоскости образуют комплексную плоскость и позволяет изображать комплексные числа и их множества в виде геометрических объектов плоскости.

Так, например, комплексно сопряженное число z*=x-iy изображается симметричной точкой P*(x, -y) относительно оси Ох, а модуль |z| числа z, согласно теореме Пифагора, есть длина отрезка ОР (гипотенуза прямоугольного треугольника).

Угол , образованный осью абсцисс ОХ и отрезком ОР (направление против часовой стрелки является положительным) называется аргументом числа z и обозначается arg z.

Очевидно, что одному комплексному числу соответствует бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на кратное число полных оборотов 2, z. Деление угла  на 2 и получение остатка аргумент z всегда можно произвести к значениям от 0 до 2 (0 arg z 2). Такая процедура называется приведением аргумента.

Эквивалентная возможность геометрической интерпритации комплексных чисел состоит в отождествлении числа z с векторомOP.

Корординаты х и у у вектора можно вычислить через параметры комплексного числа:

x = Re z = r cos = |z| cos arg z;

y = Imz = r cos = |z| cos arg z , где r = |z|.

Представляя полученные значения х и у в исходное определение комплексного числа z= x+iy , получим запись этого числа в тригонометрической форме:

z = x + iy = r cos +I r sin = |z| (cos arg z + I sin arg z)

формула умножения: arg (z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂

формула деления :

(квадратики – это )., где r₁ = |z₁|, r₂ = |z₂|, ₁ = arg z₁, ₂ = arg z₂.

16.Формула Муавра.

   Формула Муавра – это формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме

         z = ρ (cos φ + i sin φ);

        согласно этой формуле, модуль ρ комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент φ умножается на показатель степени

         zⁿ = [ρ (cos φ + i sin φ)] ⁿ = ρⁿ (cos nφ + i sin nφ).

         Формула Муавра была найдена А. Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.

         Формула Муавра может быть легко использована для выражения cos nφ и sin nφ через степени cos φ и sin φ; положив в формуле Муавра ρ = 1 и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

         cos nφ = cosⁿ φ - C_n² cos^n-2 φ sin² φ + C_n⁴ cos^n-4 φ sin⁴ φ -...,

         sin nφ = C_n¹ cos^n-1 φ sin φ - C_n³ cos^n-3 φ sin³ φ +...,

        где C_n^m = n!/m!(n - m)! — биномиальные коэффициенты (см. бином Ньютона). Обращение к формуле Муавра приводит к формуле для извлечения корня из комплексного числа.

17.Комбинаторика и ее задачи. Общие правила комбинаторики (правило суммы и правило произведения). Формула включений и исключений.

Комбинаторика занимается изучением различных комбинаций, обусловленных теми или иными ограничениями, которые можно составить из заданного конечного набора элементов. Исходными элементами, из которых набираются комбинации, могут быть: буквы, пробелы, знаки препинания, числа и иные объекты.

В основе всех задач комбинаторики лежит конечный набор (или несколько конечных наборов) n элементов: а1, а2,…,аn, из которых составляется комбинация длины m.

Типы комбинаторных задач:

1. если елементы в базовом наборе все различные и имеются в единственном экземпляре, то говорят о комбинаторике без повторений;

2. если элементы в составляющей комбинации могут повторяться, то говорят о комбинаторике с повторениями.

Решение этих типов задач осуществляется на основе общих принципов комбинаторики ( принципов суммы и произведения, формулы включений и исключений).

Принцип суммы состоит в том, что общее количество комбинаций равно сумме числа комбинаций в каждом классе.

Принцип произведения указывает, что выбор пары объектов (a_k, b_l ), где a_k из набора {a₁,a₂,…a_m}; b_l из набора {b1,b2,…bn}, можно осуществить mn способами.

Формула включений и исключений применяется в задачах, в которых некоторые элементы исходного множества (сотрудники научного института) обладают одним или несколькими качеставами (знают иностранные языки). Требуется определить количество объектов, не обладающих ни одним качеством ( не знаю ни одного языка). Из общего числа сотрудников необходимо вычесть обладающих хотя бы одним качеством и прибавить обладающих двумя качествами. Для определения числа элементов, не обладающим ни одним качеством необходимо из общего количества элементов вычитать тех, которые обладают нечетным количеством качеств, и прибавлять тех, которые обладают четным количеством качеств. Образующая процедура расчета назватся формулой включений и иключений.