2.3.2. Определения производной и частных производных, их геометрический смысл
Рассмотрим функцию
одной переменной
,
определенную на некотором интервале
.
Проделаем следующие операции:
– аргументу
дадим приращение
,
причем
;
– найдем
соответствующее приращение функции:
;
– найдем «среднюю
скорость» изменения функции на отрезке
,
равную
;
– так как при значение «средней скорости» стремиться к значению скорости изменения функции в точке, то найдем последнюю как предел
.
Производная характеризует скорость изменения функции в данной точке.
Определение.
Производной
функции одной переменной
в точке
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента в этой
точке, при стремлении к нулю приращения
аргумента. Обозначается
.
.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение:
Зададим приращение аргументу:
.
Тогда
.
.
Теперь,
,
т.е.
.
Ответ:
.
Обобщая, можно
сказать, что если функция
описывает какой-либо физический процесс,
то производная
есть скорость протекания этого процесса.
В этом состоит физический
смысл производной.
В частности, если
этот процесс – прямолинейное неравномерное
движение, то скорость движения материальной
точки в момент времени t
есть
производная от пути
по времени t.
В этом заключается механический
смысл производной
.
В задаче про
касательную к кривой был найден угловой
коэффициент касательной
,
но
.
Следовательно,
производная
в точке
равна угловому коэффициенту касательной
к графику функции
в точке, абсцисса которой равна
.
В этом заключается геометрический
смысл
производной.
Зная это, можно составить уравнение касательной и нормали (прямой, перпендикулярной касательной в точке касания) к графику функции.
Е
сли
– точка касания (см. рис.2.3.3) и
,
то
.
Тогда, используя
уравнение прямой проходящей через
заданную точку в заданном направлении
,
можно записать:
– уравнение
касательной:
;
– уравнение
нормали:
(если
).
Теперь рассмотрим
функцию двух переменных
,
определенную на некоторой области
.
Так как и – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение.
Проделаем следующие операции:
– независимой переменной дадим приращение , сохраняя значение неизменным;
– найдем
соответствующее приращение функции
– частное приращение
по
,
т.е.
;
– найдем среднюю
скорость изменения значения функции в
направлении координатной оси
на интервале
,
равную
;
– найдем скорость изменения функции в точке в направлении оси , перейдя в последнем равенстве к пределу при
.
Аналогично можно
найти частное приращение функции по
переменной
:
,
и получить скорость изменения функции
в точке в направлении оси
:
.
Определение.
Если существует предел отношения
частного приращения функции в точке
к соответствующему приращению независимой
переменной при стремлении последнего
к нулю, то он называется частной
производной функции в точке
по данной независимой переменной.
Обозначается
.
, 
.
Аналогично для
функции
–
независимых переменных
:
.
Таким образом,
функция двух переменных имеет две
частные производные, а функция
переменных
будет иметь
частных производных.
Из определения частных производных следует, что частная производная находится в предположении, что изменяется только одна независимая переменная, а остальные остаются постоянными.
Г
рафиком
функции
является некоторая поверхность (см.
рис. 2.3.4). График функции
есть линия пересечения этой поверхности
с плоскостью
.
Исходя из геометрического смысла
производной для функции одной переменной
(см. выше) делаем вывод, что
,
где
– угол между осью
и касательной
проведенной
к кривой
в точке касания
.
Аналогично,
,
где
– угол между осью
и касательной
проведенной
к кривой
в точке
.
Это и есть геометрический
смысл частных производных
функции
двух переменных.
Прямые
и
определяют плоскость
,
которая называется касательной
плоскостью к поверхности,
являющейся графиком функции
в точке
,
значит, координаты всех точек прямых
и
удовлетворяют уравнению этой плоскости.
Используя
геометрический смысл частных производных
и уравнение плоскости, проходящей через
точку
:
,
можно составить уравнение плоскости
.
Уравнение касательной плоскости:
. (2.3.6)
Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется нормалью к поверхности.
Используя условия перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить каноническое уравнение нормали.
Уравнение нормали к поверхности
.
Определение. Функция имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.