2.2.2. Теоремы о пределах
Правила, по которым находятся пределы функций, включают теоремы, справедливые для функции любого числа переменных при и при .
Эти теоремы позволяют находить пределы в тех случаях, когда функции представляют собой результат арифметических действий над другими функциями, пределы которых существуют и заранее известны.
Теорема 1.
Предел постоянной равен самой постоянной,
т.е. если
,
то
.
Теорема 2.
Предел суммы конечного числа функций
в точке
равен сумме пределов этих функций в
этой точке:
.
Доказательство:
Приведем доказательство для суммы двух функций. Докажем, что
.
Пусть
и
.
Тогда по теореме 7 (п. 2.2.1) можно записать
и
.
Следовательно,
,
где
бесконечно малая функция как сумма
бесконечно малых функций. Тогда по
теореме 7 (п. 2.2.1) можно записать
,
т.е.
. Ч. и т. д.
В случае разности двух функций и суммы любого конечного числа функций доказательство аналогично.
Следствие 1. Функция может иметь только один предел при .
Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций в точке равен произведению пределов этих функций в этой точке:
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, делимому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
.
Примеры.
1. Найти
.
Решение:
В данном случае предел функции, стоящей
в знаменателе, при
отличен от нуля, поэтому можно применить
приведенные выше теоремы:
.
Иначе говоря, в данном случае, чтобы найти предел, можно вместо независимой переменной подставить её значение в предельной точке.
2.
Найти
.
Решение:
Функция
,
стоящая в знаменателе дроби при
и
стремится к числу
,
тогда
Пример аналогичен предыдущему: вместо независимых переменных необходимо подставить их значения в предельной точке.
3.
Найти
.
Решение:
Предел знаменателя
при
равен нулю и теорема 4 не применима. В
данном случае воспользуемся свойством
бесконечно малой функции (см. п. 2.3.3
теорема 6). Функция
– бесконечно малая при
,
тогда обратная ей дробь
– бесконечно большая функция, а значит
.
Таким образом,
если знаменатель дроби не обращается
в ноль, то чтобы найти такой предел,
достаточно в выражение функции подставить
предельные значения независимых
аргументов. Если же знаменатель стремиться
к нулю
,
а числитель к некоторому постоянному
числу, то при нахождении предела
используют свойство бесконечно малой
величины (см. п. 2.2.1 теорема 6).
В случае неопределенных
выражений, характеризуемых условно
символами:
(будем называть их неопределенностями),
которые возникают при отыскании предела
выражений:
;
;
или
предел может существовать или не
существовать. В пределах такого типа,
требуются дополнительные преобразования
или специальные исследования. Рассмотрим
некоторые из них.
I.
Требуется найти предел дробно-рационального
выражения вида
(отношение двух многочленов) при
,
тогда в пределе будет иметь место
неопределенность
.
Чтобы раскрыть её,
необходимо числитель
и знаменатель дроби разделить на
переменную в наибольшей степени.
Пример.
.
Предел числителя
равен
,
а знаменатель при
сумма бесконечно малых величин, т.е.
величина бесконечно малая, поэтому вся
дробь – есть бесконечно большая величина,
т.е.
.
Пользуясь рассмотренным выше способом можно вывести правило раскрытия неопределенности в пределе отношения двух многочленов
Пример.
,
так как
и
,
.
II.
Пусть
требуется найти предел дроби, числитель
и знаменатель которой стремятся к нулю
при
,
тогда в пределе будет иметь место
неопределенность
.
а) Если числитель и знаменатель – многочлены, то чтобы раскрыть данную неопределенность, необходимо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить дробь.
В некоторых случаях
удобнее разделить числитель и знаменатель
на критический множитель
(для функции одной переменной), или
воспользоваться определением предела.
Примеры.
1.
(при сокращении на
учитывается, что
,
но
).
2.
3.
.
Разделим числитель и знаменатель на
критический множитель
:
Тогда
.
4.
.
Будем приближаться к началу координат
по прямым
,
тогда
.
Имеем при
;
при
;
при
и т.д. Отсюда следует, что предел этой
функции не существует.
b) Если дробь является иррациональным выражением, в некоторых случаях, чтобы раскрыть данную неопределенность необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное иррациональному или применить подстановку.
Примеры.
1.
.
Умножим числитель и знаменатель на
выражение
– сопряженное числителю
.
,
таким образом
.
2.
.
Выполним подстановку
при
.
Таким образом,
.