Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.
Р
ассмотрим
общее дифференциальное равновесия в
самом общем виде.
Для этой цели выделим отсек жидкости малых размеров в виде параллелепипеда. Масса жидкости в выделенном объёме:
dM = ρdW = ρdxdydz
Н
а
боковые грани параллелепипеда действуют
силы давления: (на лев. и прав. грани
соответственно): dPx
и
dPx’.
На переднюю и заднюю грани:
dPy
и
dPy’.
На
нижнюю и верхнюю грани:
dPx
и
dPx’
.
dPx=pdS = pdydz
Поскольку давление на правую грань больше, то
По аналогии можно запис. силы давл. на остальные пары граней:
на переднюю: dPy=pdS = pdxdz; на нижнюю: dPz=pdS = pdxdy
на
заднюю:
;
на
верхнюю:
.
Проекции массовых сил на координатные оси:
на
ось ОХ:
;
на
ось ОУ:
;
на
ось OZ:
;
Тогда сумма сил действующих вдоль оси ОХ:
сумма сил действующих вдоль оси ОУ:
сумма сил действующих вдоль оси OZ:
где: JX, JY, JZ – проекции ускорения массовых сил на координатные оси.
После преобразования получим систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости:
Основное уравнение гидростатики.
Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила - сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.
Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.2.2) и на ее свободную поверхность действует давление P0 . Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.
Рис. 2.2. Схема для вывода основного уравнения гидростатики
Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:
PdS - P0 dS - ρghdS = 0
Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем
P = P0 + ρgh = P0 + hγ
Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления P0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.
Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P0. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.