52. Критерии подобия и критериальные уравнения.

После приведения уравнения Навье-Стокса к следующему виду они стали содержать следующие типы переменных: 1) безразмерные независимые переменные  ; 2) безразмерные зависимые переменные  ; 3) безразмерные критерии – комплексы, состоящие из величин заданных по условиям однозначности  .

После приведения к безразмерному уравнению изменился характер уравнений. Уравнения приобрели обобщенный вид, т.к. одно и то же значение любого критерия может быть получено путем бесконечного варьирования входящих величин. Уравнения могут быть записаны в виде: 

  - система обобщенных или критериальных уравнений

Критерии подобия могут быть двух видов: 1) состоящие из разноименных параметров; 2) имеющие периодический вид, т.к. представляют собой отношение одноименных параметров. Пример: для труб:

  . Относительные переменные также могут быть двух видов:

1) отношение переменной к одноименной величине, заданной по условию однозначности:

 

2) если по условию однозначности нельзя задать одноименную величину, то строится комплекс приводящий величину к безразмерному виду – число подобия:

 

 В числа подобия входят определяемая величина. Критерий подобия состоит из заранее известных величин, заданных по условиям однозначности..

1) Критерий Рейнольдса   - определяет соотношение сил инерции и вязкости в однородном потоке. Это важнейший гидродинамический критерий для вынужденного движения. При движении потока в нем возникают возмущения, которые исходят от стенок канала или вносятся в поток извне. Влияние возмущений зависит от соотношения сил. Если преобладают силы вязкости возмущения гаснут и поток не меняет своей структуры. Если преобладают силы инерции возмущения развиваются дальше, поток меняет течение, изменяется его структура. Граница соотношения сил определяется по значению Reкр. Если Re<Reкр преобладают вязкие силы, Re>Reкр – силы инерции. Re характеризует движение при соизмеримости инерции и вязкости. Если в потоке преобладает какой-то один вид сил характер перестает зависеть от величины Re. В этом случае говорят, что течение автомодельно относительно критерия Re.

2) Критерий гидродинамической гомохронности   - определяет соотношение между периодом темпа внешних воздействий на поток и периодом перестройки скоростного поля. Используют только для нестационарных задач.  - время, за которое проходит частица, движущаяся со скоростью V0, путь l0. Если в задаче время подлежит определению, то рассматривается не критерий, а число Струхала: 

3) Критерий Фруда   - определяет соотношение между силами инерции и тяжести в потоке. Используется только в задачах, в которых гравитационные эффекты имеют важное значение. Однако в таких задачах часто сложно задать характерную скорость (при естественной конвекции), поэтому строится критерий, в котором исключается скорость:

   - критерий Галилея.

При гравитационном движении важное значение имеет параметрический критерий:  .

Причем ρ и ρ0 – плотности не только в разных точках, но и в различных фазах.   - критерий Архимеда.

При гравитационном течении однофазной жидкости движение возникает в результате расширения: 

 - коэффициент объемного расширения.

 - критерий Гросгофа.

4) Число Эйлера   - определяет соотношение сил давления и сил инерции; определяемая величина; т.к. часто давление в потоке неизвестно, то больший интерес представляет определение перепада давления на рассматриваемом участке  .

 

   - безразмерный коэффициент сопротивления при очень низких скоростях, когда течение ламинарное  ,  , в этих случаях рассматривают число Лагранжа, которое принимает постоянное значение:

 

10. Адиабатный процесс в свете первого закона термодинамики. Связь между основными термодинамическими параметрами в адиабатном процессе.

Согласно первому закону термодинамики ΔU = Q + A.

Изотермический, изохорный и изобарный изопроцессы широко применяются в технике. Так, закон Гей-Люссака положен в основу строения газовых термометров; закон Шарля «работает» в устройствах, которые называются автоклавами, и т. п. Термодинамика изучает еще один процесс, широко применяющийся на практике, в частности в тепловых двигателях. Это так называемый адиабатный процесс.

Адиабатный процесс — это термодинамический процесс, который происходит в теп­лоизолированной системе, то есть при отсутствии теплообмена с окружающими тела­ми.

Поскольку в таком случае Q = 0, то в соответствии с первым законом термодинамики вся выполненная работа идет на изменение внутренней энергии системы: A = ΔU.

Конечно, в реальных условиях достичь такого результата практически невозможно, поскольку не существует идеальных изоляторов тепла. Но приблизиться к этому условию можно несколькими способами. Например, создать оболочки с низкой теплопроводностью (по принципу термоса) или осуществить процесс настолько быстро, чтобы теплообмен между системой и окружающими телами был непродолжительным и им можно было пренебречь.

При адиабатном сжимании газа вся выполненная работа идет на увеличение внутрен­ней энергии тела: A = ΔU. При адиабатном расширении газа A’ = —ΔU, то есть газ вы­полняет работу за счет уменьшения собственной внутренней энергии.

Рис. 2.5. Графическое изображение адиабаты

Например, быстрое сжатие газа вызывает возрастание внутренней энергии, которая равняется количеству выполненной работы A, и газ нагревается. На этом явлении, в частности, построено самовозгорание топливной смеси в дизельных двигателях. И наоборот, если газ сам выполняет работу вследствие стремительного расширения, то его внутренняя энергия уменьшается, и температура газа снижается. Это свойство адиабатного процесса положено в основу сжижения газа. Примером адиабатного процесса является также взрыв, плавление предохранителя при коротком замыкании и т. п.

Адиабаты, как и изотермы, не перекрещиваются между собой. Графически на координатной плоскости pV адиабатный процесс изображается кривой, которая называется адиабатой (рис. 2.5). Она падает круче, чем изотерма, поскольку при адиабатном процессе изменение давления происходит за счет одновременного увеличения объема и уменьшения температуры. Этот вывод подтверждает также формула (24): p = nkТ, ведь увеличение объема газа ведет к уменьшению концентрации молекул газа, и потому уменьшение давления обусловливают два параметра — температура газа T и концентрация молекул n.

Вследствие адиабатного расширения газа происходит изменение его состояния, которое характеризуется уменьшением внутренней энергии; при адиабатном сжимании газа его внутренняя энергия возрастает.

38. Дифференциальное уравнение теплопроводности — уравнение Фурье для Декартовых координат.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается так называемым дифференциальным уравнением теплопроводности, на основе которого строится математическая теория теплопроводности. В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, сочетаемый с законом Фурье.

. (2.24)

Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь междувременным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля. Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м2/c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большуютемпературопроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

, (2.25) где qV — удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

, (2.26)

где r — радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

— полярный угол.

Вопрос № 15.Понятие энтропии.

Ds=dq/T

Энтропия является функцией состояния, поэтому ее величина определяется параметрами состояния s=f (p,V,T).

В технической термодинамике используют лишь изменение энтропии в процессах, а не ее абсолютные значения.

Энтропия системы равна сумме энтропий отдельных подсистем или тел, входящих в систему.

Вопрос №43. Передача теплоты через цилиндрическую стенку при граничных условий третьего рода.

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с постоянным коэффициентом теплопроводности λ. Заданы постоянные температуры подвижных сред t_F1 и t_F2 и постоянные значения коэффициентов теплоотдачи на внутренней и наружной поверхностях трубы ₁ и ₂ (рис. 2.7).

Согласно теории теплопередачи, зависимость теплового потока через изолированную стенку трубы от толщины изоляции следующая: сначала тепловой поток растет за счет увеличения диаметра поверхности, достигает максимума при критической толщине изоляции, и далее снижается. Критический диаметр изоляции = 2 * коэффициент теплопроводности изоляции / коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности изоляции воздуху.

Вопрос №28 Уравнение Ван-дер-Ваальса

Как отмечалось ранее, при низких температурах и высоких давлениях уравнение Менделеева – Клапейрона для одного моля вещества дает существенные отклонения от значений, измеряемых на опыте. Были сделаны многочисленные попытки найти уравнение состояния для реального вещества, которое могло бы охватить, если не все состояния вещества, то хотя бы газообразное и жидкое. Из множества предложенных уравнений наибольшей известностью пользуется уравнение Ван-дер-Ваальса: записанное для одного моля вещества. Для молей это уравнение имеет вид: Постоянные a и b определяются экспериментально и имеют различные значения для разного сорта молекул. Уравнение (5.1.2) не выводится, оно устанавливается введением в уже известное уравнение Менделеева – Клапейрона двух поправок. Чтобы обосновать их введение заметим, что в уравнении (5.1.2) объем означает объем сосуда, в котором содержится один моль газа. В случае идеального газа, состоящего из материальных точек, весь этот объем доступен для движения молекул. В реальном газе сами молекулы занимают некоторую часть объема сосуда, и эта часть недоступна для всех других молекул. Эту часть объема следует вычесть из объема . Тогда уравнение (5.1.2) приобретет вид Из последнего выражения видно, что поправка b равна тому объему, который занимал бы газ при бесконечно большом давлении, т. е. молекулы реального газа не могут сблизиться друг с другом до расстояния равного нулю, даже при бесконечно большом давлении. Поэтому введение поправки b означает приблизительный учет сил отталкивания между молекулами. Как мы знаем, между молекулами действуют не только силы отталкивания, но и силы притяжения. Любая молекула, расположенная вблизи стенки сосуда AA' испытывает результирующую силу притяжения со стороны молекул, расположенных в сфере действия сил притяжения. рис. 1 Таким образом, в результате действия сил притяжения давление на стенку со стороны газа будет меньше, по сравнению с тем давлением (5.2.4), которое испытала бы стенка, если бы сил притяжения между молекулами не было, т. е. Откуда находим уравнение Ван-дер-Ваальса: Поясним появление в формуле (5.2.9) добавочного давления. Пусть газ находится в цилиндре под невесомым поршнем. Внешнее давление стремится сжать газ, т. е. сблизить его молекулы. Если бы молекулы газа друг друга не притягивали, газ испытывал бы на себе одно только внешнее давление . Но взаимное притяжение молекул, как мы выяснили, также стремится приблизить молекулы друг к другу, т. е. действует в том же направлении, как и внешнее давление . Поэтому результат притяжения молекул сказывается в кажущемся увеличении внешнего давления на газ, как будто бы к величине давления на поршень прибавилось некоторое добавочное давление .

5. Первый закон термодинамики

Первый закон термодинамики– изменение внутренней энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно сумме количества теплоты, подведенной к системе из вне и работе внешних сил действующих на нее:∆U=Q+A.

Аналитические выражения:

Через внутреннюю энергию и работу: dq=du+pdV

Через энтальпию: dq=dh-Vdp

33. Назначение и типы компрессоров. Термодинамический анализ работы компрессора.

Компрессорами называются устройства, предназначенные для повышения давления газов и паров. По принципу действия: объёмные и лопчатые.

В объёмных компрессорах рабочее тело сжимается механическим путём за счёт сближения ограничивающих стенок; в лопчатых компрессорах рабочему телу сообщается за счёт вращения ротора значительная скорость, а затем кинетическая энергия потока преобразутся в потонциальную (таким оразом давление рабочего тела становится выше)

Объёмные компрессоры: поршневые и ротацинные

Лопчатые компрессоры: центробежные и осевые.

Термодинамический анализа компрессоров разных типов одинаков, так как в любом компрессоре осуществляется процесс политропного сжатия рабочего тела.

В общем случае процесс сжатия газа в компрессоре является политропным. Значения показателя политропы лежат в интервале от n = 1 (изотермическое сжатие, охлаждаемый компрессор) до n = k (адиабатное сжатие, неохлаждаемый компрессор). Работа, затрачиваемая на сжатие, в этих процессах будет различной.

30. Техническая работа потока. Адиабатное течение газов в каналах.

Это равенство показывает, что в данном случае площадь 1-2-3-4-1, заключенная между линией процесса в аппарате 1-2 и осью ординат, изображает собой только техническую работу потока.

Если давление в аппарате понижается (как, например, в турбине), то dp<0, следовательно, , т.е. техническая работа положительна. Это означает, что она совершается потоком над внешним объектом.

Если давление в аппарате повышается (как, например, в компрессоре), то dp>0, следовательно, , т.е. техническая работа отрицательна. Это означает, что она совершается внешним двигателем над потоком.

Может быть и такой случай, когда давление в аппарате остается неизменным. Этот случай имеет место при рассмотрении процесса нагревания или охлаждения потока в теплообменнике. Естественно, что при этом техническая работа вообще не совершается (см. тему 1), что и подтверждает равенство , имеющее место при dp= 0.

При адиабатном расширении потока техническая работа совершается им исключительно за счет снижения энтальпии и площадь фигуры 1-2-3-4-1 в этом случае, будучи равной технической работе потока, одновременно равна и разности энтальпии i₁–i₂, которая обозначается буквой h_о и называется располагаемым теплопадением.

Адиабатное течение газов в каналах

Рассмотрим случай, когда поток движется в канале переменного сечения без совершения технической работы. Если геометрическая высота центров сечений канала не изменяется, то выражение первого закона термодинамики потока принимает вид

Полученное соотношение показывает, что изменение скорости потока в канале всегда обратно по знаку изменению давления, т.е. если давление рабочего тела в канале уменьшается, то скорость его увеличивается, и наоборот.

Каналы переменного сечения, в которых происходит расширение рабочего тела (давление уменьшается) и скорость рабочего тела увеличивается, называются соплами.

Каналы, в которых происходит обратный процесс и за счет уменьшения кинетической энергии потока (уменьшения скорости) давление его повышается, называются диффузорами. Основой для вывода общих закономерностей движения рабочего тела в соплах и диффузорах является уравнение неразрывности потока

где G – массовый расход рабочего тела;

f– площадь произвольного сечения канала.

Изменение давления и скорости потока создается противоположным воздействием геометрической формы канала на поток (очевидно, что при G=const и увеличении ω нужно уменьшить f). Это положение носит название закона геометрического обращения воздействия.

2. Термическое уравнение состояния рабочего тела

При постоянных давлениях и температуре единица количества ве-ва имеет всегда вполне определенный объем. Эту зависимость всегда можно выразить в виде функции связии давления p, удельного объема V и температуры Т.

F(p, V, T)=0

Это соотношение называется термическим уравнением состояния вещества. Три переменные p, V, T - параметры состояния. Если 2 из них известны, то третье можно определить через уравнение состояния

p=p(V, T)

V=V(p, T)

T=T(p, V)

Уравнение состояния может быть представлено в виде поверхности в пространстве с координатами p, V, T. Но в технике чаще используют кривые в плоскости 2х координат.

Для решения задач методами термодинамики необходимо знать уравнение состояния, однако оно должно быть получено опытным путем, т.к. конкретный вид уравнения зависит от индивидуальных свойств веществ.