10)Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, разложение векторов по базису.

Если линейная комбинация   может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел   есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов   называется линейно зависимой.

Если линейная комбинация   представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа   равны нулю, то система векторов   называется линейно независимой.

Свойства:

Если к линейно зависимой системе векторов   добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Если из линейно независимой системы векторов   исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Если в системе векторов   есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Если система векторов   линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов   линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней. Справедливы следующие утверждения: В трехмерном пространстве V₃ любая тройка некомпланарных векторов образует базис. В двумерном пространстве V₂ любая пара неколлинеарных векторов образует базис

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁, ..., a_n, необходимо найти коэффициенты x₁, ..., x_n, при которых линейная комбинация векторов a₁, ..., a_n равна вектору b:

x₁a₁ + ... + x_na_n = b,

при этом коэффициенты x₁, ..., x_n, называются координатами вектора b в базисе a₁, ..., a_n.

при сложении векторов их координаты складываются, при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

11)Прямоугольная система координат, координаты точки и вектора. Длина вектора, направляющие косинусы вектора.

Прямоугольная система координат в пространстве  образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX,OY OZ {\displaystyle OX}JJJ naaJJJJ {\displaystyle OZ}. Оси координат пересекаются в точке {\displaystyle O}O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. {\displaystyle OX}OX — ось абсцисс, {\displaystyle OY}OY — ось ординат, {\displaystyle OZ}OZ — ось аппликат.

 

Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i⃗ , j⃗  и k⃗ , то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде OA=x⋅i⃗ +y⋅j⃗ +z⋅k⃗ .

Коэффициенты x, y и z определяются одним единственным образом и называются координатами вектора.

 

Записываются так: OA{x;y;z}.

Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:

 

- координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:

a⃗ {x1;y1;z1}, b⃗ {x2;y2;z2}, a⃗ +b⃗ {x1+x2;y1+y2;z1+z2}

 

- координаты разности векторов, если даны координаты векторов:  a⃗ −b⃗ {x1−x2;y1−y2;z1−z2}

 

- координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:

n⋅a⃗ {n⋅x1;n⋅y1;n⋅z1}

 

- длину вектора:

|a⃗ |=sqrt x21+y21+z21

- координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точки вектора:

A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB), AB{xB−xA;yB−yA;zB−zA}

 

- расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:

AB=|AB|=sqrt (xB−xA)^2+(yB−yA)^2+(zB−zA)^2

 

- координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точки отрезка:

xC=(xA+xB)/2;yC=(yA+yB)/2;zC=(zA+zB)/2

{\displaystyle A(x,\;y,\;z)}

Длина вектора:

 формула длины вектора   по его координатам на плоскости имеет вид  .

длина вектора   в пространстве равна .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки   и  , то вектор  имеет координаты   и его длина вычисляется по формуле  , а формула трехмерного пространства имеет вид  .

Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

cos α =	ax	;	cos β =	ay
	|a|			|a|

Свойство:

cos² α + cos² β = 1

12)Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов 

⟨a⃗ ,b⃗ ⟩=∣a⃗ ∣⋅∣b⃗ ∣⋅cosφ,

Φ- величина угла между векторами 

свойства скалярного произведения

Для любых векторов  и любого действительного числа

1. ⟨a⃗ ,b⃗ ⟩=⟨b⃗ ,a⃗ ⟩

2. ⟨a⃗ +b⃗ ,c⃗ ⟩=⟨a⃗ ,c⃗ ⟩+⟨b⃗ ,c⃗ ⟩

3. ⟨λ⋅a⃗ ,b⃗ ⟩=λ⋅⟨a⃗ ,b⃗ ⟩

4. ⟨a⃗ ,b⃗ ⟩⩾0

5 ⟨a⃗ +b⃗ ,c⃗ ⟩=⟨a⃗ ,c⃗ ⟩+⟨b⃗ ,c⃗ ⟩

Проекция:

ПР b A=A*B/|B|

Cos(A,B)=A*B/|A||B|

A*B=x1*x2+y1*y2+z1*z2

|A|=sqrt x1^2+y1^2+z1^2

13)Векторное произведение векторов и его свойства:

Векторным произведением  вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c 

Формулы

Векторное произведение двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx)
	ax	ay	az
	bx	by	bz

a × b = {a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y - a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах: S_парал = [a × b]

Геометрический смысл векторного произведения. Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ =	1	|a × b|
	2

Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.

Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.

a × b = -b × a

(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

(a + b) × c = a × c + b × c