39)Непрерывность функции в точке. Точка разрыва и их классификация.
Функция 
называется непрерывной
в точке 
,
если:
функция определена в точке и ее окрестности;
существует конечный предел функции в точке ;
это
предел равен значению функции в точке
,
т.е. 
Приращение аргумента и функции
Рассмотрим
функцию 
,
которая определена в некотором
интервале 
и
рассмотрим произвольную точку 
из
этого интервала: 
.
Приращением
аргумента 
в
точке
называется
разность 
Приращением
функции 
в
точке
называется
разность соответствующих значений
функции 
или,
используя равенство из выше приведенного
замечания, будем иметь:
Теорема
Функция
непрерывна
в точке
тогда
и только тогда, когда бесконечно малому
приращению аргумента 
соответствует
бесконечно малое приращение функции 
:
Полезные теоремы о непрерывности функции
Теорема
Если
функции
и 
непрерывны
в точке
,
то функции 
, 
, 
также
непрерывны в точке
.
Пусть
функция 
задана
на множестве 
,
а 
-
множество значений этой функции. Пусть
на множестве
задана
функция 
.
Тогда говорят, что на множестве
задана композиция
функций (или сложная
функция)
.
Теорема
Пусть
функция
непрерывна
в точке
,
а функция
непрерывна
в точке 
.
Тогда композиция функций
непрерывна
в точке
.
40)Асимптоты.
Виды асимптот
Определение
Прямая 
называется вертикальной
асимптотой графика
функции
,
если хотя бы одно из предельных
значений 
или 
равно 
или 
.
Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Определение
Прямая 
называется горизонтальной
асимптотой графика
функции
,
если хотя бы одно из предельных
значений 
или 
равно 
.
Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
Определение
Прямая 
называется наклонной
асимптотой графика
функции
,
если
Нахождение наклонной асимптоты
Теорема
(условиях существования наклонной асимптоты)
Если
для функции
существуют
пределы 
и 
,
то функция имеет наклонную асимптоту
при 
.
Замечание
Горизонтальная
асимптота является частным случаем
наклонной при 
.
Замечание
Если
при нахождении горизонтальной асимптоты
получается, что 
,
то функция может иметь наклонную
асимптоту.
Замечание
Кривая может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.
41)Определение производной. Геометрический смысл производной.
Производной 
от
функции
в
точке
называется предел отношения
приращения функции 
к
приращению аргумента
: 
при 
,
если он существует, то есть:
или
Геометрический смысл производной
Производная
функции
,
вычисленная при заданном значении 
,
равна тангенсу угла, образованного
положительным направлением оси 
и
положительным направлением касательной,
проведенной к графику этой функции в
точке с абсциссой
:
Замечание
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .
42)Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
Теорема.
Если функция 
дифференцируема
в некоторой точке a,
то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
По определению производной
Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде
где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда
Следовательно,
при x → a.
Заметим,
что дифференцируемость функции в
некоторой точке означает ее гладкость
в окрестности этой точки, что влечет за
собой непрерывность функции в
рассматриваемой точке. Однако обратное
утверждение несправедливо – функция,
обладающая свойством непрерывности в
некоторой точке, не обязательно
дифференцируема в этой точке.
43)Производные степенной и показательной функции.
Степенно-показательной
функцией (или показательно-степенной,
или функцией
в степени функция)
называется функция вида 
Рассмотрим способы нахождения ее производной.
1-ый способ
Применяя формулу:
То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.