6. 2. Методы определения ошибки регулирования

Возможны различные подходы к отысканию функции ξ (t) при задан­ной структуре системы и управляющем воздействии X (t). Отметим не­которые из них.

6. 2.1. Запись дифференциального уравнения системы и подстановка в него ожидаемого решения в виде некоторой функции с неизвестными коэффициентами, с последующим определением этих коэффициентов

Пример 6. 1. Имеется система, состоящая из двух инерционных звеньев:

K(p)=

Сигнал управления х(t) описывается функцией

X(t)=At

Требуется определить сигнал ошибки ξ (t).

Решение. Запишем очевидные соотношения, вытекающие из рис.6.1.

ξ (t)=X(t)-Y(t),

где y(t) – выходная функция системы; x (t) – задающее внешнее воздействие.

Запишем дифференциальное уравнение замкнутой системы, для чего сначала необходимо получить его коэффициенты. Как известно, коэффициенты дифференциального уравнения и коэффициенты передаточной функции системы - это одни и те же числа. Поэтому записываем передаточную функцию замкнутой системы:

Ф(p)= (6.1)

Если обозначить коэффициенты числителя индексами B, а коэффициенты знаменателя индексами A, то

в₀ = к; в₁ = в_{2 +} … в_к = 0;

а₀ = 1+ к; а_{1 =} Т₁+Т₂; а₂ = Т₁Т₂;

а₃ = а₄=… а_к = 0.

Отсюда дифференциальное уравнение замкнутой системы:

(6.2)

Для подстановки в уравнение (6.2) необходимо синтезировать ожидаемое решение у(t) в виде полинома с неизвестными коэффициентами

Тогда

;

Подставляя x(t), y(t), dy (t)/dt в уравнение (6.2), получаем:

(Т₁₊Т₂)C₁ + (1+К)(С₀ + С₁t) = КАt. (6.3)

Неизвестные коэффициенты С₀ и С₁ можно получить, приравнивая в левой и правой частях слагаемые с одинаковыми степенями t:

(1+К)С₁t = КАt,

откуда:

(Т₁ + Т₂)С₁ = - (1+К) С₀;

Подставляя полученные С₀ и С₁ в ожидаемое решение y (t), полу­чаем

Поскольку ξ (t) = x(t) – y (t), имеем окончательно:

ξ

(6.4)

Полученное выражение показывает, что ошибка регулирования содержит ослабленную в (1+К) раз функцию входного сигнала х(t) и дополнительную постоянную составляющую

Полученную функцию ξ (t) можно выразить графически (рис. 6. 2).

Пример 6.2. В последнем примере 6.1 заменим одно из инерционных звеньев на интегрирующее:

Сигнал управления возьмем тот же:

Х(t) = At

Решение. Передаточная функция замкнутой системы

Отсюда дифференциальное уравнение замкнутой системы

(6.5)

Будем искать ожидаемое решение, как и в предыдущем примере:

y(t)=С₀+С₁t

Производные функции y(t):

;

Подставляем y(t), ее производные и x (t) в уравнение (6.5):

С₁ + КС₀ + КС₁t = КАt (6.6)

Приравнивая члены, содержащие t в первой степени:

KC₁t = KAt,

откуда

С₁ = А

Приравниваем члены, не содержащие переменную t:

С₁=-KC₀

откуда

Подставляя С₀ и С₁, в (6. 5), получаем:

ξ(t)=x(t)–y(t)=

Ошибка регулирования

ξ(t)= const.

Выразим графически эту зависимость (рис. 6.3)

Рис. 6. 2 Рис. 6. 3

Сравнивая рис. 6.2 и рис. 6.3, можно легко заметить, что при переходе от статической системы к астатической ошибка регулирования уменьшается при одном и том же входном воздействии x(t). В частности, если в статической системе ошибка возрастает со временем, то в астатической она постоянна и обратно пропорциональна коэффициенту усиления системы, т. е. при желании может быть снижена до необходимой величины путём повышения коэффициента усиления К.

Рассмотренный способ нахождения ошибки регулирования можно применять в ограниченных случаях, когда система имеет несложную структуру (невысокий порядок дифференциального уравнения) и при входных сигналах простой аналитической записи, когда можно более или менее удачно записать в общем виде ожидаемое решение. В иных, более сложных, ситуациях решение может быть весьма громоздким и трудоёмким, а иногда и практически невозможным.

6.2.2. Классический операторный метод определения ошибки регулирования

Как принято в операторном методе, задача решается в области Лапласовых изображений. Для определения изображения по Лапласу функции в любой точке системы берётся изображение известной функции (в данном случае – на входе системы) и умножается на передаточную функцию между входом и интересующей точкой системы. При отыскании ошибки регулирования такой точкой является выход сумматора, а такой передаточной функцией будет передаточная функция ошибки от регулирующего воздействия К_ξ x(p). Ее очень просто записать, зная передаточную функцию разомкнутой системы К(р) или замкнутой системы Ф(р).

Уравнение сумматора (см. рис. 6.1) в области изображений:

ξ(р) = x(p) – y(p) (6.7)

С другой стороны,

Y(p) = X(p) Ф(р) = X(р) (6.8)

Подставляя (6.8) в (6.7) и разделяя переменные X(р) и ξ(р), получаем их отношение, являющееся искомой передаточной функ­цией ошибки:

(6.9)

или в другой форме записи:

(6.10)

Формула (6.10) справедлива для конфигурации рис. 6.1, где изображена следящая система, в которой выход системы совпадает с инверсным входом сумматора. Для систем иной конфигурации, где в канале обратной связи может быть звено или группа звеньев, справедлива формула (6.9). Кстати, она справедлива и для следящих систем тоже, т.е. более универсальна. Таким образом, классический операторный метод отыскания ошибки сводится к четырем операциям:

1. По известной функции х(t) находят ее изображение по Лапласу.

2. По известной структуре системы К(р) находят К_ξx(p) по фор­муле

(6. 9).

3. Перемножают: x(р)K_ξx(р)=ξ(р).

4. Обратным преобразованием Лапласа с помощью специальных таблиц, имеющихся в справочниках, определяется ξ (t). Недостатком такого метода определения ошибки является высокая трудоемкость практической работы при громоздкой структуре системы или сложных аналитических записях функции х(t).