6. 4. Выводы

1. Ошибка регулирования зависит как от формы управляющего сигнала, так и порядка астатизма системы.

2. Чем более динамичный входной сигнал, тем больший порядок астатизма требуется для сведения ошибки к нулю.

3. Для получения нулевой ошибки регулирования порядок астатиз­ма должен быть на единицу больше числа ненулевых производных вход­ного сигнала х(t).

4. Если порядок астатизма равен числу ненулевых производных функции x(t), то ошибка будет постоянной.

5. Если порядок астатизма меньше числа ненулевых производных входного сигнала, то ошибка регулирования будет возрастать со временем и может превысить допустимое значение.

6. Даже при очень динамичных входных сигналах х(t) есть смысл использовать астатические системы хотя бы первого порядка, ибо они исключают из состава ошибки самые мощные компоненты.

7. Увеличение коэффициента усиления системы, увеличивая коэффициент А₀, уменьшает ошибку регулирования (см. (6.15)).

6. 5. Задачи для решения в аудитории

Задача 6.1. Передаточная функция ошибки от регулирующего воз­действия:

T₁>T₃

T₂>T₄

ξ (t) = const (отрицательная). Найти x (t).

Задача 6.2. Входная функция системы: x(t) = - At + Bt²

Передаточная функция замкнутой системы:

ξ (t) = ?

Задача 6. 3. Входной сигнал х(t) = Ае^-αt . Передаточная функция разомкнутой системы

Какова ошибка регулирования ξ (t)? Учитывать только первые четыре члена ряда (6.13).

Тема 7. Гармоническая линеаризация

Идея гармонической линеаризации нашла свое место в теории автоматического регулирования прежде всего потому, что имеется груп­па приближенных методов анализа нелинейных систем, основанных на принципе гармонического баланса. Они используются главным образом для исследования устойчивости нелинейных систем, а также устойчи­вости автоколебаний в этих системах.

При гармонической линеаризации нелинейного элемента считается что на его вход подается гармонический сигнал. При этом естествен­но ожидать, что на выходе нелинейного эвена сигнал будет негармо­ническим и в его составе будут высшие гармоники, общее количество которых теоретически может быть равно бесконечности. Тогда и в автоматической системе

в целом будут присутствовать эти гармоники, так как система замкнута и сигнал с выхода нелинейного звена рано или поздно, пройдя через группу других звеньев, попадет на его вход. Чтобы этот сигнал можно было считать гармоническим, необхо­димо, чтобы линейная часть системы обладала свойствами фильтра нижних частот и отфильтровывала все верхние гармоники, оставляя на входе нелинейного звена только первую. Если линейная часть нели­нейной системы не обладает свойствами фильтра нижних частот, то использовать метод гармонической линеаризации нельзя, так как воз­никнут большие погрешности в анализе процессов, происходящих в системе.

Суть гармонической линеаризации сводится к замене нелинейного звена некоторым линейным эквивалентом по первой гармонике выходно­го сигнала. При этом вводится понятие коэффициента передачи линеаризованного звена по первой гармонике

где Vвх - амплитуда гармонического сигнала на входе звена; V₁ вых - амплитуда первой гармоники сигнала на выходе звена.

Таким образом, гармоники более высоких порядков просто не учитываются. Поскольку звено все же нелинейное, естественно, что коэффициент Кн₁ не будет постоянным при изменении амплитуды Vвх, так как форма искаженного негармонического сигнала на выходе звена при изменении амплитуды входного воздействия будет меняться. Например, на рис. 7.1, а показана простейшая нелинейность "насыщение". Если амплитуда Vвх будет в пределах от 0 до а, то звено фактически бу­дет линейным и его коэффициент передачи:

На рис. 7.1, а обозначены по осям х₁ и х₂ – вход и выход нели­нейного эвена.

Если же амплитуда сигнала на входе превысит уровень а, то в

выходном сигнале будет уплощение вершин гармонического сигнала (рис. 7.1,б) и при симметричности нелинейной характеристики поя­вятся высшие нечетные гармоники. Будет при этом, конечно, и первая гармоника V₁вых. Чтобы отразить факт зависимости Кн₁ от амплитуды входного сигнала, его обозначают

Kн₁ (A),

где А – амплитуда входного гармонического сигнала.

а б

Рис. 7.1

Для безреактивкых нелинейных звеньев, где нет частотной за­висимости характера вносимых искажений, такого обозначения доста­точно. Для реактивных же звеньев, в которых характер искажений вы­ходного сигнала зависит не только от амплитуды, но и от частоты входного гармонического сигнала, вводят обозначение

Кн (А, W).

Примером такого звена может служить полупроводниковый диод ва­рикап, совмещающий в себе нелинейную вольт-амперную характеристику открытого р-n перехода и нелинейную барьерную емкость диода в запертом состоянии. Будем считать для упрощения изложения, что в рамках данной темы мы имеем дело с безреактивными нелинейными звеньями, т. е. будем обозначать коэффициент передачи по первой гармонике как

1	при А > а
2	при А > α
3	при a3>A>a1 см. вар. 2 при A>a2
4	при А ≥ а2
5	при A≥ a
6	7 A≥a

Естественно, что для нахождения аналитических зависимостей Кн₁ (А) различных нелинейных звеньев необходимо разложить в ряд Фурье функцию, описывающую выходной сигнал, и взять из него только пер­вую гармонику. В табл. 7.1 приведены данные для 7 типовых нелиней­ных звеньев, где показаны формы характеристик и аналитические

Таблица 7. 1

выражения для Кн₁. С сохранением нумерации табл. 7. 1 названия нелинейных звеньев следующие:

звено 1 – «насыщение»;

звено 2 – «зона нечувствительности»;

звено 3 – «зона нечувствительности с насыщением»;

звено 4 – «3-позиционное реле с гистерезисом»;

звено 5 – «2-позиционное реле с гистерезисом»;

звено 6 – «2-позиционное реле без гистерезиса»;

звено 7 – «3-позиционное реле без гистерезиса».

Как видно из аналитических зависимостей табл. 7.1, у звеньев с неоднозначными характеристиками (4, 5) в выражениях для Кн₁ имеется мнимая часть, что говорит о наличии фазовых сдвигов между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим сигналом. Для остальных звеньев фазового сдвига нет, т.е. максимум первой гармо­ники выходного сигнала совпадает с максимумом входного сигнала.

Интерес представляет то, что фазовые сдвиги для звеньев 4, 5 зависят от амплитуды А. Например, для звена 5

откуда видно, что при А=а φ(А)=-π/2, а при увеличении A фазовый сдвиг

должен уменьшаться. В пределе, при А → ∞ φ(А) → 0. В этом легко убедиться, рассмотрев рис. 7. 2, а и 7. 2, б где видно, что при А = а прямоугольный сигнал выхода сдвинут относительно входного сигнала ровно на 90⁰ , а максимум первой гармоники, как известно, будет совпадать с серединой импульса на выходе (первая гармоника помечена пунктиром). При А > а (рис. 7.2, 6) импульс на выходе уже сдвинут по фазе меньше 90⁰ относительно входного сигнала. По аналитическим выражениям табл. 7.1 можно построить графики для модуля и фазы коэффициента передачи по первой гармонике Кн₁(А). Такие данные приведены в табл. 7. 2. Представляют интерес зависимости для нелинейности «трехпозиционное реле с гистерезисом (звеном 4)». Они называют коэффициентом возврата реле. Хорошо видно, что при λ → 1, когда гистерезис исчезает, звено 4 превращается в звено 7 и фазового сдвига вообще нет. При λ → 0, когда а₂ >> а₁, фазовый сдвиг максимален для данного эвена, но он не достигает -90°,а значительно меньше. Для этого достаточно рассмотреть рис. 7.3, где взят именно случай а₁ >> а₁ и А = а₂. Даже при А = а₂ фазовый сдвиг немного не достигает -45⁰ и может достигнуть этого значения только при а₁ → 0.

а)

б)

Рис. 7. 2

При использовании метода гармонической линеаризации в теории и практике автоматического управления часто бывает необходимо представление функции Кн₁ (А) в виде годографов. В табл. 7.3 на основе данных табл. 7.2 построены годографы Кн₁ (А) и – 1/Кн₁ (А) для семи типовых нелинейных звеньев.

Таблица 7. 2

звено	Кн1(А)	φ (А)
Насыщение		φ=0
Зона нечувствительности		φ=0
Зона нечувствительности с насыщением		φ=0
3-позиционное реле с гистерезисом
2-позиционное реле с гистерезисом
2-позиционное реле без гистерезиса		φ=0
3-позиционное реле без гистерезиса		φ=0

Таблица 7. 3

Звено	Годограф Кн1(А)	Годограф - 1/Кн1 (А)
Насыщение
Зона нечувствительности
Зона нечувствительности с насыщением
3-позиционное реле с гистерезисом
2-позиционное реле с гистерезисом
2-х позиционное реле без гистерезиса
3-позиционное реле без гистерезиса

Рис. 7. 3

Зависимости Кн₁ (А) и φ (А) в табл. 7. 2 построены без соблюдения масштаба, приближенно, лишь с сохранением характера этих зависимостей. Часто этого бывает достаточно, например для решения воп­роса о возможности или невозможности автоколебаний в нелинейной системе, что является уже предметом изучения следующей темы 8. В рамках же темы 7 интересно будет рассмотреть, не прибегая к получению аналитических зависимостей, характера кривых Кн₁ (А) для не­которых нелинейных звеньев, не входящих в перечень рассмотренных выше 7 звеньев.

Пример 7.1. Звено с характеристикой рис. 7. 4 Построим зависи­мость Кн₁(А) и ее годограф. Как видно из рис. 7. 4, при А < а, звено является линейным и его коэффициент передачи равен tgα_1. При А>а₁ будет происходить снижение Кн₁(A), как у звена "насыщение".

Рис. 7. 4 Рис. 7. 5

Однако после достижения амплитудой входного сигнала уровня а₂ в выходном сигнале появятся заостренные вершины (рис. 7. 5) и коэф­фициент Кн₁ (A) вновь начнет увеличиваться.

При этом увеличение Kн₁ при А → ∞ будет происходить до зна­чений Кн₁ (∞) = tg α₂.

Соответствующая зависимость Кн₁ (A) показана на рис. 7. 6,а, а на рис. 7.6,б - годограф Кн₁ (А). Поскольку φ(А) = о, годограф расположен на вещественной оси.

Рис. 7.6

Пример 7.2. Звено с характеристикой рис. 7. 7.

α₂ =89⁰30^′

Рис. 7. 7

Данное звено при малых амплитудах А напоминает звено предыдущее (рис. 7. 4), но при А > а наклон характеристики резко увеличивается. Поэтому при А → ∞Кн₁ (А) также стремится к большому числу (tg 89⁰30').

На рис. 7.8,а показана зависимость Кн₁ (А), а на рис. 7. 8,б - годограф. Поскольку звено имеет однозначную характеристику, φ (А)=0.

а) б)

Рис. 7.8

Задачи для решения в аудитории

Задача 7.1. Задана характеристика нелинейного звена (рис. 7.9).

Зарисовать вид характеристик Кн₁ (А), φ (А) и годограф Кн₁ (А) (качественно, без вычислений).

Задача 7. 2. Вид характеристики (рис. 7.10). Задание аналогично задаче 7.1.

Задача 7. 3. Годограф Кн₁ (А) (рис. 7.11). Нарисуйте характеристику нелинейного звена.

Рис. 7. 9 Рис.7.10 Рис.7. 11