Примеры решения задач

Задача 1

Определение количества теплоты Q,

проходящее через двухслойную плоскую стенку

Определить количество теплоты Q, Вт, проходящее через плоскую стенку, выложенную из красного кирпича. Длина стенки L = 4,5 м, высота H = 2,7 м, толщина соответствует 2,5 длины стандартного кирпича (_кр=0,640 мм). Одна из поверхностей оштукатурена слоем _ш = 22 мм. На поверхностях стены поддерживается температура t_с1 =20С и t_с3 = –25 С. Коэффициент теплопроводности кирпичной кладки _кр = 0,75 Вт/(мС), коэффициент теплопроводности штукатурки _ш=1,2 Вт/(мС). Найти значение температуры на границе соприкосновения кирпичной кладки и штукатурки.

Рис. 1. Схема двухслойной плоской стенки

21

Решение.

Количество теплоты Q, проходящее через плоскую стенку в единицу времени, определяется по формуле

,

где q – плотность теплового потока, Вт/м²; F – площадь поверхности, м².

Плотность теплового потока определим как

Вычислим площадь поверхности:

F=L·H=4,5·2,7=12,15 м².

Тогда количество теплоты будет равно

=39,225·12,15=476,58 Вт.

Задача 2

Определение теплопотерь через ограждающую

конструкцию

Помещение с внутренними габаритами , где а = 2,5 м – длина, b = 5,5 м – ширина, h = 6,6 м – высота, выполнено из панелей толщиной  = 0,7 м. Материал панелей имеет коэффициент теплопроводности  = 0,7 Вт/(м ^oC).

Какой мощности электронагреватель нужно установить, чтобы температура в помещении сохранялась на уровне t_в = 19С, если температура наружного воздуха t_н = –15 С, а коэффициенты теплоотдачи соответственно на внутренних и внешних поверхностях панелей следующие:

_c1=9 Вт/(м²^оС),  _c2=20 Вт/(м² ^оС) (для стен);

 _п1=10 Вт/(м² ^оС ),  _п2=4 Вт/(м² ^оС) (для пола);

 _пт1=8 Вт/(м² ^оС ),  _пт2=15 Вт/(м² ^оС) (для потолка).

22

Рис. 2. Габариты помещения

Решение.

Мощность электронагревателя должна быть такой, чтобы восполнять все теплопотери через ограждающие конструкции помещения:

.

Определим тепловые потери через ограждающие конструкции –

а) через стены:

– плотность теплового потока

= ;

– площадь четырех стен

F=2·h (a+b) = ;

– количество теплоты

б) через пол:

23

(a∙b)= (2,5∙5,5)=66,82 Вт;

в) через потолок:

(a∙b)= (2,5∙5,5)=68,86 Вт.

Необходимая мощность электронагревателя составит

Задача 3

Расчет теплопередачи через цилиндрическую стенку

По трубопроводу с размерами , где d₁ –внутренний диаметр трубы, равный 20 мм, а d₂ – наружный диаметр, равный 22 мм, течет горячая вода с температурой t_ж1=95 С. Температура окружающей среды t_ж2=22 С.

Снаружи труба покрыта слоем изоляционного материала толщиной =10 мм с коэффициентом теплопроводности ₂=0,07 Вт/(м∙ ), коэффициентом теплопроводности материала трубы ₁=211 Вт/(м∙ ). Средние коэффициенты теплоотдачи с внутренней поверхности трубы и внешней изоляционного материала соответственно равны ₁=100 Вт/(м²∙ ) и ₂ = 5000 Вт/(м²∙ ). Определить количество теплоты, отдаваемой единицей длины трубы, в окружающее пространство, а также температуры на внутренней поверхности трубы и внешней поверхности изоляции.

24

Рис. 3. Схема двухслойной цилиндрической стенки

Решение.

Найдем диаметр d₃ , определяющий внешнюю толщину трубы по формуле

Линейную плотность теплового потока при теплопередаче через двухслойную цилиндрическую стенку определим по формуле

25

Количество теплоты, отдаваемой единицей длины трубы (l =1м) в окружающее пространство, найдем по формуле

Температуру на внутренней поверхности стенки трубопровода определим по формуле

,

а на внешней поверхности изоляции можно либо по формуле

либо

.

Задача 4

Расчет теплопередачи через оребренную стенку

Нагревательный прибор, выполненный в виде стальной цилиндрической трубы с оребренной поверхностью, имеют следующие характеристики: внутренний и наружный радиусы ребер постоянной толщины d=3 мм и соответственно равны R₁=140 мм и R₂=220 мм, коэффициент теплоотдачи от поверхности ребра a_р=20 Вт/(м²∙ ), коэффициент теплоотдачи от неоребренной поверхности a_п =8 Вт/(м²∙ ), коэффициент теплопроводности стали l=50 Вт/(м∙ ), температура в основании ребра t₁=60°С.

26

Определить количество теплоты, отдаваемое всем прибором в окружающую среду с температурой t₀ = 5 °С, если длина прибора l = 500 мм, а количество ребер n = 25 шт. При решении задачи необходимо воспользоваться таблицами для определения значений функции Бесселя (прил. 1, 2).

Рис. 4. Цилиндрическая труба с оребрением

R₁

R₂

δ_p

t₀

t_осн

Рис. 5. Схема оребрения трубы

27

Решение.

Количество теплоты, отдаваемое поверхностью ребра в окружающую среду, будет равно количеству теплоты, подводимому к основанию ребра:

,

m – определяется по формуле

где a_р – коэффициент теплоотдачи от поверхности ребра, Вт/(м²×^oC);

 – теплопроводность материала трубы, Вт/ (м× ^oC);

d _р – толщина ребра, м.

Избыточная температура θ₁ стержня определяется как

Количество тепла, отдаваемое всеми ребрами:

.

Функция  определяется с учетом поправки на радиус R₂, которая учитывается как :

28

Количества тепла, отдаваемое гладкой поверхностью между ребрами:

,

где F_с – площадь поверхности неоребренной стенки определяется по формуле

F_с=2pR₁(l−nd_p)=2×3,14×0,14(0,500−25×0,003) = 0,37 м².

Теплота, отводимая от оребренной цилиндрической стенки в единицу времени, будет равна

Q=367,41+162,8=530,21 Вт.

Задача 5

Определение времени , необходимое для нагрева вала, а также температуры на поверхности вала в конце нагрева

Длинный стальной вал диаметром d=120 мм, который имел температуру t₀=20 ºС, был помещен в печь с температурой t_ж=700 ºС. Определить время , необходимое для нагрева вала, если нагрев считается законченным, когда температура на оси вала станет равной t_r=0=680 ºC. Определить также температуру на поверхности вала t_r=r0 в конце нагрева.

К оэффициент теплопроводности и температуропроводности стали равны соответственно =59 Вт/(мºC) и а=1,62610^-5 м²/с. Коэффициент теплоотдачи к поверхности вала =160 (Вт/м² ºC) .

t_r=ro

Рис. 6. Нагревание вала

29

Решение.

Для определения температуры на оси и на поверхности цилиндра при нагревании (охлаждении) в среде с постоянной температурой воспользуемся графиком зависимости θ=F₁(Fо, Bi) (рис. 5) для оси цилиндра и графиком зависимости θ=F₂(Fо, Bi) (рис. 6) для поверхности цилиндра. Для этого необходимо определить число Bi, безразмерные температуры на оси цилиндра и на его поверхности по формулам:

Вi=

Безразмерную температуру на оси вала определим как:

,

где t_ж – температура окружающей вал среды; t_r=0 – температура на оси вала в конце нагрева; t₀ – температура на оси вала в начале нагрева.

По графику зависимости θ=F₁(Fо, Bi) (рис. 7 – прямая линия) для оси цилиндра определим число Фурье Fо, характеризующее безразмерное время Fо=11,7. Тогда время, необходимое для нагрева вала определится по формуле

,

с=43,17 мин.

Зная числа Фурье и Био, определим безразмерную температуру на поверхности цилиндра из графика зависимости θ=F₂(Fо, Bi) (рис. 8 – прямая линия) для поверхности цилидра θ _r=r0=0,028.

30

Рис. 7. Зависимость безразмерной температуры

на оси цилиндра от чисел Фурье и Био

Рис. 8. Зависимость безразмерной температуры

на поверхности цилиндра от чисел Фурье и Био

31

Выразим температуру на поверхности цилиндра из формулы:

;

^оС.

Задача 6

Охлаждение цилиндра

Цилиндр диаметром d=600 мм охлаждается в среде, имеющей постоянную температуру t_ж=5 С. В начальный момент времени температура цилиндра всюду была одинакова t₀=600 С. Коэффициент теплоотдачи во всех точках поверхности цилиндра в процессе охлаждения оставался постоянным и равным =160 Вт/(м²^оС).

Коэффициенты теплопроводности, температуропроводности и плотность материала соответственно равны

=59 Вт/(м^оС ), а=1,62610^-5 м²/с, =7849 кг/м³.

Определить количество тепла, которое будет отдано 1 погонным метром цилиндра окружающей среде в течение 45 минут (2700 сек.) после начала охлаждения.

Решение.

Найдем число Био и число Фурье:

Вi= ,

.

32

Зная Bi и Fo, определим безразмерные температуры на оси цилиндра и на его поверхности: θ_r=0=0,61; θ_r=r0=0,39 (рис. 7, 8 – пунктирная линия).

Тогда температуры на оси цилиндра и на его поверхности определятся по формулам:

;

^оС;

;

^оС.

Количество теплоты, отданное поверхностью цилиндра в окружающую среду, определим по формуле

где с – теплоемкость металла, из которого выполнен трубопровод, кДж/(кг·^оС) (определяется по таблице теплофизических свойств металлов).

33