17. Поняття двоїстості (економічна постановка двоїстої задачі).

Двоїста задача – задача лін. оптимізації, розв`язок якої відшукується розглянутими вище методами, при цьому розв. прямої і двоїст. Задач існують зв`язки, на підставі яких можна аналізуючи оптим. розв`язок або сист. Обмежень однієї із них робити припущення про опт. розв.

В загальному випадку модель задачі організації виробництва може бути представлена у вигляді:

(1) F= , де – к-ть продукції j-го типу, а – дохід від реалізації одиниці j-го продукту.

(2) , де – к-ть видів сировини (ресурсів), - запас і-го ресурсу, - витрати і-го ресурсу на виготовлення одиниці -ї продукції.

(3) .

Нехай деяка організація готова придбати ресурси, які є в кількостях . Необхідно визначити оптим. оцінки вартості одиниці кожного ресурсу так, щоб це було вигідно як продавцю, так і покупцю.

Нехай – шукана оцінка вартості одиниці і-го ресурсу.

З точки зору покупця, його інтерес полягає в мінімізації витрат на придбання сировини.

(4) f=

З боку продавця (виробника), реалізація ресурсів буде вигідна при умові, що дохід від реалізації ресурсів буде при наймі не менше суми від переробки ресурсів та подальшої реалізації готової продукції.

Формолізуючи зазначену умову відносно одиниці продукції кожного типу, маємо наступні обмеження:

(5)

(6) (к-ть обмежень (5) = к-ті продукції, що виготовляється).

Змінні в задачі (4)-(6) називають умовними цінами, які відображають рівень цінності відповідного ресурсу для вир-ва. (Інакше ці ціни називають неявна або тіньова ціна).

Побудована пара задач (1)-(3) і (4)-(6) містить однакові вхідні параметри: , , і утворюють пару двоїстих задач.

Для будь-якої задачі лінійної оптимізації може бути побудована двоїста до неї та відповідна економіко-математична модель.

19. Перша теорема двоїстості.

Двоиста зад – зад ЛО, при чём между решением прямой или двоистой существ связи на основании котор можно делать предположение про опт решение и с-му огран второй. Соотвеств связи устан-ся через теорему двоистости. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и вторая также имеет оптимальное решение. При это в оптимальных точках прямой и двойственной задач выполняется равенство F(x opt)=f(y opt).

Если ц.ф. одной из задач не ограничена, то двойственная не имеет решения из-за неограниченности ОДР, либо пустоты ОДР.Следствие: для любых неоптимальных допустимых решений исходной и двойственной задач имеет место неравенство (значение ц.ф. max<значение ц.ф. min).

Экон. смысл: до тех пор пока решение задач будет неоптимальным, доход от реализации готовой продукции будет меньше суммарной ценности ресурсов, т. е. ресурсы расходуются нерационально. При достижении оптимальных планов, когда доход становится равным суммарной ценности ресурсов предприятия, становится безразлично либо производство продукции Хopt, либо продавать ресурсы согласно Yopt.

Используя теоремы двойственности и зная оптимальное решение одной из двойственных задач можно построить (определить) оптимальное решение двойственной задачи. Первая теорема позволяет уточнить зміст та един измерения.