1.3. Задачі-казки

Золото царя Додона

Шість розбійників обікрали царя Додона. Здобич була багатою — менш

ніж сто однакових злитків. Почали розбійники ділити здобич, але один злиток

виявився зайвим. Розбійники почали сваритися та в бійці одного розбійника

вбили. Знову стали ділити золото, але знову один злиток виявився зайвим. Знову

в бійці загинув один розбійник. Так було доти, доки врешті-решт залишився

тільки один розбійник, який також помер від ран. Скільки злитків було?

Розв’язування. Якщо спочатку було б на один злиток менше, то поділ

відбувся. Число менше за 100, що ділиться на 2, 3, 4, 5, 6,— це число 60. Усього

було 60 + 1 = 61 злиток золота.

Маленький Мук та королівський скороход

Маленький Мук та королівський скороход змагалися з бігу по доріжці

довжиною 30 км, яка пролягла навколо великої галявини. За умовою, змагання

виграє той, хто обжене іншого та пробіжить на коло більше. Скороход пробігає

Математична логіка

15

коло за 10 хв, а Маленький Мук — за 6 хв. Обидва біжать рівномірно. Через

скільки хвилин Маленький Мук обжене скорохода?

Розв’язування. Швидкість Маленького Мука 30 : 6 = 5 км/хв, а скорохода

30 : 10 = 3 км/хв. Коли змагання почалися, то Маленький Мук став обганяти

скорохода на 5 – 3 = 2 км/хв. Тому Маленький Мук обжене скорохода через

30 : 2 = 15 хв.

Старий Хоттабич

Вік старого Хоттабича записується різними цифрами. Про це число відоме

наступне:

1) якщо першу та останню цифри закреслити, то отримається двозначне

число, яке при сумі цифр 13, є найбільшим;

2) перша цифра більша за останню в 4 рази. Скільки років старому

Хоттабичу?

Розв’язування. Найбільшим двозначним числом з сумою цифр 13 є число

94. Нехай остання цифра 1. Тоді перша 4, але така цифра вже є. Нехай остання

цифра 2, тоді перша 8. Всі цифри різні, отримали 8942. Якщо остання цифра 3,

то перша 12. Таке неможливо.

Хоттабичу 8942 роки.

Сьома мандрівка Синдбада

Синдбад-_______мандрівник потрапив на острів. На ньому живуть тільки

правдолюби (вони говорять тільки правду) та брехуни (вони тільки брешуть).

Синдбада супроводжував житель цього острова. Скоро вони побачили ще

одного жителя. Синдбад послав

свого проводиря дізнатися, хто той

житель — правдолюб, чи брехун.

Проводир повернувся та сказав, що

той каже, що він брехун. Ким був

проводир — правдолюбом чи

брехуном?

Розв’язування. Якщо житель

Математична логіка

16

був правдолюбом, то він про це сказав би проводирю. Якщо житель острова був

брехун, то він також сказав, що він правдолюб. Таким чином відповідь про

жителя — правдолюб. Проводир сказав Синдбаду, що житель — брехун. Тому

проводир — брехун.

Хто переміг Змія Горинича

«Змія Горинича перемогли», — така чутка дійшла до Микули

Селяниновича. Він знав, що це міг зробити один з богатирів: Ілля Муромець,

Альоша Попович, Добриня Микитович.

Скоро Микулі доповіли:

1)Змія Горинича переміг не Ілля Муромець;

2)Змія Горинича переміг Альоша Попович.

Через деякий час з'ясувалося, що одне з цих тверджень хибне, а друге —

істинне. Хто ж переміг Змія Горинича?

Розв’язуваня:

1) Припустимо, що переможцем був Ілля Муромець. Тоді обидва повідомлення

хибні, це не відповідає умові задачі.

2) Припустимо, що переможцем був Альоша Попович. Тоді обидва

повідомлення правильні, це не відповідає умові задачі.

3) Припустимо, що переможцем був Добриня Микитович. Тоді перше

повідомлення істинне, а друге ні.

Нільс та гуси

Нільс летів у зграї на спині гусака Мартина. Він звернув увагу, що зграя

нагадує трикутник: попереду вожак, потім два гусаки, у третьому ряду — три і

т.д. Зграя зупинилась на ночівлю на крижині. Нільс побачив, що розташування

гусей цього разу нагадує квадрат, що створено з рядів, у кожному однакова

кількість гусей, причому кількість гусей у кожному ряду дорівнює кількості

рядів. Гусей в зграї менш ніж 50. Скільки гусей у зграї?

У селі Простоквашино

У селі Простоквашино на лавці перед будинком сидять дядя Федір, кіт

Матроскін, пес Шарик та листоноша Печкін. Якщо Шарик, що сидить крайнім

Математична логіка

17

зліва, сяде між Матроскіним та Федором, то Федір виявиться крайнім зліва. Хто

де сидить?

Володар і мудреці

Володар захотів випробувати мудреців і

сказав їм: «Перед вами три ковпаки: один

чорний і два білих. На вас одягнуть по ковпаку,

хто з вас першим здогадається, якого кольору на

ньому ковпак?» Мудреців завели в темну

кімнату і там наділи білі ковпаки. Потім привели

їх назад. Довго вони дивились одне на одного.

Один з них вигукнув: «На мені білий ковпак!»

Як він міркував?

Кмітливість коваля Хечо

(стародавня грузинська задача)

Давно-давно жив у Грузії князь злий і гордовитий. Була у князя дочка—

дівчина на виданні, Дариджан на ім'я. Обіцяв князь свою Дариджан видати за

багатого сусіда, а вона покохала простого хлопця, коваля Хечо. Спробували

були Дариджан і Хечо втекти в гори від неволі, але спіймали їх слуги князьові.

Розлютувався князь і вирішив на завтра стратити обох, а на ніч наказав

замкнути їх ось у цю високу, похмуру, покинуту, недобудовану башту, а разом з

ними ще й служницю Дариджан, дівчинку-підлітка, яка допомагала їм тікати.

Не розгубився у башті Хечо, оглянувся, піднявся по східцях у верхню її

частину, у вікно виглянув — стрибати не можна, розіб'єшся. Тут помітив Хечо

біля вікна покинуту будівельниками мотузку, перекинуту через заржавлений

блок, укріплений над вікном. До кінців мотузки були прив'язані порожні

корзини, до кожного кінця — по корзині. Хечо згадав, що в цих корзинах

муляри піднімали вгору цеглу, а вниз опускали щебінь, причому якщо вага

вантажу в одній корзині була більша від ваги вантажу у другій приблизно на 5—

6 кг (у сучасних мірах), то корзина досить плавно опускалась на землю; друга

корзина в цей час піднімалась до вікна.

Математична логіка

18

Хечо на око визначив, що Дариджан важить близько 50 кг, служниця не

більше як 40 кг. Свою вагу Хечо знав — близько 90 кг. Крім того, він знайшов у

башті ланцюг вагою 30 кг. Оскільки у кожній корзині могла вміститись людина і

ланцюг або навіть 2 людини, то їм усім трьом удалось спуститись на землю,

причому спускались вони так, що жодного разу вага корзини з людиною, яка

опускалась, не перевищувала ваги корзини, яка піднімалась, більш як на 10 кг.

Як вони вибрались з башти?

Східна казка

Дуже давно на Сході жив-був чоловік, який, вмираючи, залишив своїм

трьом синам 17 верблюдів. Він заповів старшому синові половину, середньому

— третину, молодшому — дев'яту частину.

Не знайшовши розв'язання самостійно (адже задача в цілих верблюдах

розв'язку не має), брати звернулися до мудреця.

— О мудрий! — сказав старший брат.— Батько залишив нам 17 верблюдів і

велів розділити між собою таким чином... Але 17 не ділиться ні на 2, ні на 3, ні

на 9. Чи зможеш ти, о вельмиповажний, допомогти нашій біді, бо ми хочемо

виконати волю батька?

— Нема нічого простішого,— відповів мудрець,— якщо до 17 ваших

чудових приєднати ще й мого старенького верблюда. Ось слухайте.

Брати слухали й дуже дякували мудрецю, який задовольнив всі умови

батьківського заповіту і не випадково, замість свого старенького, сів, щоб їхати

далі, на найкращого з верблюдів. Як розділив мудрець спадщину?

Розв’язання. Батько склав заповіт

непередбачливо: сума частин 1/2 + 1/3 +

1/9 становить не одиницю, а 17/18. Точне

виконання заповіту, якщо не рахуватися з

вимогами доцільності і практичної

реалізації, передбачає передачу

старшому синові 17/2 верблюда,

середньому 17/3, молодшому 17/9, що

Математична логіка

19

становить 289/18 = 16 1/18, а 17/18 від одного верблюда залишаються

поза розподілом. Мудрець підмінив умови заповіту, приєднавши до спадщини

свого верблюда. Тоді старший отримав 1/2 18 = 9, середній – 1/318 = 6, а

молодший – 1/918 = 2 верблюди. Але такий розв'язок не є точною реалізацією

заповіту, а лише доцільним наближенням до його вимоги. Старший син

фактично отримав більше на 9 — 17/2 = 1/2 верблюда, середній на 6 — 17/3

= 1/3, а молодший на 2 — 17/9 = 1/9. Ці надбавки в сумі вичерпують 17/18

верблюда, які згідно із заповітом залишилися поза розподілом.