2. Основні типи логічних задач

2.1. Подільність чисел

З усіх дій арифметики найпримхливіша — це дія ділення. Вона має

особливі властивості, можна сказати, особливу „вдачу”. Візьмемо хоча б

оперування з нулем. Для всіх інших арифметичних дій нуль — рівноправне

Математична логіка

29

число. Його можна і додавати, і віднімати; він може бути множником у дії

множення, але дільником ніколи. Поділити на нуль взагалі не можна жодне

число, жодний алгебраїчний вираз. Це — важлива особливість ділення, і коли до

неї поставитись неуважно, то не обійтися без несподіванок; можна, наприклад,

„довести” будь-яке явно фальшиве твердження — „парадокс”.

„Вдача” ділення проявляється не тільки щодо нуля. Математична теорія

приділяє багато уваги властивостям цілих чисел і законам, які керують діями над

ними. Так ось, якщо обмежитись множиною самих тільки цілих (додатних і

від'ємних) чисел, то знов-таки „капризує” лише одна дія — ділення. Її, як ви

знаєте, не завжди можна виконати в області цілих чисел. Прийнято вважати, що

ціле число а ділиться на ціле число b, якщо серед цілих чисел знайдеться таке

число с, добуток якого на b дає точно число а, а коли такого числа немає, то а не

ділиться на b.

Усі ці особливості ділення і сприяли виникненню таких понять, як прості

числа, найбільший спільний дільник (НСД), найменше спільне кратне (НСК),

ознаки подільності чисел, а поступовий розвиток теорії подільності чисел привів

до глибокого розширення всієї теорії чисел.

Робота над задачами цього розділу у деякій мірі збільшить запас уявлень

про подільність чисел, а, можливо, й спонукатиме до систематичного вивчення

всієї теорії чисел.

Один з найважливіших способів розв'язування задач полягає в тому, що

розв'язування даної задачі зводять до розв'язування іншої, простішої задачі.

Нехай треба встановити, чи ділиться якесь многоцифрове число на друге

дане число. Щоб відповісти на це запитання, в ряді випадків зовсім не треба

вдаватись до безпосереднього ділення даного числа. Розв'язування поставленої

задачі дуже часто можна звести до з'ясування подільності деякого іншого, не

многоцифрового числа, складеного за тим чи іншим правилом з цифр даного

числа. Так і виникають ознаки подільності чисел.

ОЗНАКА ПОДІЛЬНОСТІ НА 11

Якщо сума цифр даного числа через одну дорівнює сумі решти цифр через

Математична логіка

30

одну або різниця цих сум ділиться на 11, то й дане число ділиться на 11.

А коли зазначені суми цифр через одну не дорівнюють одна одній і їх

різниця не ділиться на 11, то й дане число не ділиться на 11.

Приклад. Чи ділиться 3 528 041 на 11 ?

Застосовуємо ознаку: 3 + 2 + 0 + 1= 6, 5 + 8 + 4 = 17, 17 – 6 = 11.

17 – 6 = 11, ділиться на 11. На підставі ознаки можна твердо сказати: число 3

528 041 обов'язково повинно ділитись на 11. Виконавши ділення безпосередньо,

переконаєтесь у тому, що ознака працює.

ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ НА 8 І 4

Якщо число, утворене останніми трьома цифрами даного числа, ділиться

на 8, то й все дане число ділиться на 8. Отже, питання зводиться до подільності

на 8 деякого трицифрового числа.

Але при цьому нічого не сказано, як в свою чергу швидко дізнатись про

подільність цього трицифрового числа на 8. Адже не завжди зразу видно, чи

ділиться дане трицифрове число на 8, і доводиться перевіряти це безпосереднім

діленням.

Ознака подільності на 4

простіша. Тут треба, щоб ділилось на 4

число, яке складається тільки з двох

останніх цифр випробовуваного числа.

Природно виникає запитання: чи

не можна спростити і ознаку

подільності на 8? Можна, якщо

доповнити її спеціальною ознакою

подільності трицифрового числа на 8.

На 8 ділиться кожне

трицифрове число, в якого двоцифрове

число, утворене цифрами сотень і

десятків, додане до половини числа

одиниць, ділиться на 4.

Математична логіка

31

Приклад. Дано число 592. Щоб розв'язати питання про подільність його на 8,

відокремлюємо одиниці і половину їх числа додаємо до числа, утвореного

цифрами десятків і сотень. Дістаємо 59 + 1 = 60. Число 60 ділиться на 4. отже,

число 592 ділиться на 8.

Зауваження 1. Зрозуміло, що число, яке закінчується непарною цифрою, не може

ділитись на 8.

Зауваження 2. У величезній більшості випадків сума двоцифрового числа,

зазначеного в ознаці, і половини одиниць даного числа буде також

двоцифровим числом.

Сума буде трицифровою тільки для чисел у межах від 984 до 998, але

навіть і в цих випадках вона не перевищуватиме числа 103 (99 + 4 = 103).

ПРО ПОДІЛЬНІСТЬ НА 7

Чомусь числу 7 в народі приділяється особлива увага, і воно ввійшло у

його пісні і прислів'я:

Сім раз примір, один раз відріж.

Сім погод на дворі: сіє, віє, мутить, крутить, рве, зверху ллє, знизу мете.

Краще сім раз горіти, аніж один раз вдовіти!

У семи няньок дитина без носа.

У кого дочок сім — то й щастя всім, а у мене одна — то й щастя нема.

Число 7 багате де тільки на прислів'я, а й на різні ознаки подільності. Є

кілька індивідуальних ознак подільності на 7. Пропонуємо дві до розгляду.

ПЕРША ОЗНАКА ПОДІЛЬНОСТІ НА 7

Помножте першу зліва цифру випробовуваного числа на 3 і додайте

наступну цифру; результат помножте на 3 і додайте наступну цифру і т. д. до

останньої цифри. Для спрощення після кожної дії дозволяється від результату

віднімати 7 або число, кратне 7.

Якщо остаточний результат ділиться чи не ділиться на 7, то и дане

ділиться чи не ділиться на 7.

Приклад. Визначимо подільність числа 48 916 на 7. Помножимо першу зліва

цифру на 3: 4 · 3 = 12. Для дальших розрахунків число 12 можна замінити

Математична логіка

32

числом 5, яке дістаємо, зменшивши 12 на 7. Заміняючи число а числом b, яке

відрізняється від а на 7 або на число, кратне 7, ставитимемо між ними значок .

Тоді першу дію можна записати так: 4 · 3 = 12  5. Потім додаємо до 5 другу

цифру 8 і знову робимо відповідну заміну: 5 + 8 = 13  6. Далі:

6 · 3 = 18  4, 4 + 9 = 13  6, 6 · 3 = 18  4,

4 + 1 = 5, 5 · 3 = 15  1, 1 + 6 = 7.

Остаточний результат 7. Отже, число 48 916 ділиться на 7.

ДРУГА ОЗНАКА ПОДІЛЬНОСТІ НА 7

Подільність на 7 за цією ознакою визначають так само, як за попередньою,

з тією лише відмінністю, що множення треба починати не з крайньої лівої цифри

даного числа, а з крайньої правої і помножати не на 3, а на 5.

Приклад. Чи ділиться на 7 число 37 184?

4 · 5 = 20  6, 6 + 8 = 14  __________0, 0 · 5 = 0, 0 + 1 = 1; 1 · 5 = 5; додавання цифри 7

можна пропустити;

5 · 5 = 25  4, 4 + 3 = 7  0. Число 37 184 ділиться на 7.

КУРЙОЗ ПОДІЛЬНОСТІ

На закінчення розглянемо 4 цікавих десятицифрових числа:

2 438 195 760 4 753 869 120 785 942 160 4 876 391 520

У кожному з них є всі цифри від 0 до 9, але кожна цифра тільки по одному разу і

кожне з цих чисел ділиться на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 і 18.

Розглянемо такі задачі.

1. Число на гробниці

В одній з єгипетських пірамід вчені знайшли на кам'яній плиті гробниці

вигравіруване ієрогліфами число 2520. Важко точно сказати, за що випала така

честь цьому числу. Можливо, за те, що воно без остачі ділиться на всі без ви-

нятку цілі числа від 1 до 10.

Справді, немає числа, меншого від 2520, яке б мало таку властивість.

Неважко переконатись у тому, що це число є найменшим спільним кратним

цілих чисел першого десятка.

Математична логіка

33

2. Подарунки до Нового року

Готуючи подарунки дітям до Нового року, швидко розклали по пакетах

цукерки і печиво. Але коли почали розкладати мандарини, то натрапили на таке

утруднення: спочатку хотіли розкласти всі мандарини по 10 штук у пакет,— не

вийшло: на один з пакетів лишилось 9 мандаринів; коли поклали по 9

мандаринів, лишилося 8 мандаринів на один з пакетів; спробували розкласти по

8 мандаринів, лишилось 7; почали розкладати по 7, лишилось 6; поклали по 6,

лишилось 5.

— Що за дивина! Невже так буде і далі? Взяли папір, олівець і почали

обчислювати. І що б видумали: ділимо число мандаринів на 5, лишається 4;

ділимо на 4, лишається 3; ділимо на 3, лишається 2; ділимо на 2, лишається 1.

Ось яке дивне число мандаринів ми мали. А скільки ж все-таки?

3. Чи може бути таке число?

Чи може бути таке число, яке при діленні на 3 дає в остачі 1, при діленні

на 4 дає в остачі 2, при діленні на 5 дає в остачі 3 і при діленні на 6 дає в остачі

4?

4. Кошик яєць (із старовинного французького задачника)

Жінка несла на базар кошик яєць. Перехожий ненароком штовхнув жінку,

кошик упав, яйця побились. Винуватець нещастя, щоб відшкодувати збитки,

запитав:

— Скільки всього було яєць в кошику?

— Точно не пам'ятаю,— відповіла жінка,— але знаю, що коли я виймала з

кошика по 2, по 3, по 4, по 5 або по 6 яєць, у кошику лишалось одне яйце, а коли

я виймала по 7, кошик був порожній.

Скільки яєць було у кошику?

5. Трицифрове число

Якщо від задуманого мною трицифрового числа відняти 7, то воно

поділиться на 7, якщо відняти від нього 8, то воно поділиться на 8, а якщо

відняти від нього 9, то воно поділиться на 9. Яке число я задумав?

Математична логіка

34

6. Чотири теплоходи

У порту пришвартувалось 4 теплоходи. Опівдні 2 січня 1953 року вони

одночасно залишили порт. Відомо, що перший теплохід повертається до цього

порту через кожні 4 тижні, другий — через кожні 8 тижнів, третій — через 12

тижнів, а четвертий — через 16 тижнів.

Коли вперше теплоходи знов зустрінуться в цьому порту ?

7. Помилка касира

Звертаючись до касира магазина, покупець сказав:

— Візьміть, будь ласка, з мене за 2 пачки солі по 90 коп., за 2 куски мила по 2

грн. 70 коп., за 3 пачки цукру і за 6 коробочок сірників, але вартості пачки цукру

і сірників я не пам'ятаю.

Касир видав покупцеві чек на 29 грн. 17 коп. Подивившись на чек,

покупець повернув його касирові і сказав:

— Підраховуючи загальну суму, ви, безперечно, помилились.

Касир перевірив і погодився. Довелось вибачитись і видати покупцеві другий

чек. Як покупець знайшов помилку?

Відповідь: сума цифр 2 + 9 + 1 + 7 = 19 не ділиться на 3.

ВІДПОВІДІ:

2. 2519 3. 58 4. 721

5. 504 6. 48 тижнів