6.1.2. Тест Бреуша-Пагана (Breus-Pagan)

Предполагается, что дисперсия случайной ошибки зависит от нескольких независимых переменных.

s_i²=₀+₁z_i1+₂z_i2+…+_mz_im.

Этапы тестирования:

1. Рассчитывают МНК-оценки коэффициентов регрессии.

2. Находят остатки e_i.

3. Находят квадраты остатков e_i^2.

4. Рассчитывают коэффициент детерминации R² для регрессии

e_i² = ₀+₁z_i1+₂z_i2+…+_mz_im.

5. Вычисляют X²_набл = n R². (6.2)

6. Если X²_набл превосходит критическое значение статистики Хи-квадрат для m степеней свободы, гетероскедастичность присутствует.

Пример 6.2

По данным таблицы 5.1 проверить гипотезу о гетероскедастичности, используя тест Бреуша-Пагана.

Решение

Рассчитаем регрессию по всем шести переменным, в результате получим регрессию (рис. 5.2). При построении регрессии необходимо вывести остатки e_i, для этого следует поставить флажок «Остатки» в параметрах Регрессии (рис. 2.3).

В результате получим таблицу остатков. Найдем квадраты остатков (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Вывод остатка регрессии

Затем строим регрессию, в которой за зависимую переменную берется столбец квадратов остатков е_i², а за зависимые переменные –переменные Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅, Х₆.

Результат представлен на рис. 6.7.

Рис. 6.7. Вывод остатка регрессии

Найдена статистика (6.2): .

Так как Х²_набл=17,15> Х²_крит =12,59, то гипотеза о гомоскедастичности отвергается и модель считается гетероскедастичной.

Критическое значение распределения хи-квадрат найдено с помощью действий: f_xСтатистическиеХИ2ОБР(m), где m – число переменных, входящих в уравнение регрессии (в данном случае 6).

6.1.3. Тест Вайта (White)

Этот тест аналогичен тесту Бреуша-Пагана. В качестве независимых переменных используются все регрессоры, их квадраты и попарные произведения.

s_i²=₀+₁x_i1+₂x_i2+…+_kx_ik+ _k+1x_i1 x_i2+ _k+2x_i1 x_i3 +…+ _mx_ik^2.

Этапы тестирования:

1. Рассчитывают МНК-оценки коэффициентов регрессии.

2. Находят остатки e_i.

3. Находят квадраты остатков e_i^2.

4. Находят оценку остаточной дисперсии ^.

5. Рассчитывают R² для регрессии

e_i²=₀+₁x_i1+₂x_i2+…+_kx_ik+ _k+1x_i1 x_i2+ _k+2x_i1 x_i3 +…+ _mx_ik^2.

6. Вычисляют X²_набл = nR^{2. (6.3)}

7. Если X²_набл превосходит критическое значение статистики Хи-квадрат для m степеней свободы, то гетероскедастичность присутствует.

Пример 6.3

По данным таблицы 5.1 проверить гипотезу о гетероскедастичности, используя тест Вайта.

Решение

Так как число переменных, входящих в уравнение не может быть больше 16, оставим только первые четыре переменных. В таблице построим данные, соответствующие квадратам переменных и их перекрестным произведениям (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Данные для построения регрессии

Построим уравнение регрессии для этих переменных. Получим коэффициент детерминации, равный 0,98 (рис. 6.9).

Рис. 6.9. Расчет теста Вайта

Рассчитаем статистику по формуле (6.3).

Так как X²_набл = nR^{2=24,64 >} Х²_крит =22,36 для числа степеней свободы, равного 13, то гипотеза о гомоскедастичности отвергается и модель можно считать гетероскедастичной.