Вопрос 20.Нормированное уравнение прямой . Отклонение точки от прямой в r2.

Выведем нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую в этой системе координат, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой. В качестве нормального вектора нашей прямой возьмем вектор единичной длины  , с началом в точке O. Его координаты равны соответственно   и  , где   и   - углы между вектором   и положительными направлениями координатных осей Ox и Oy соответственно, то есть,  . В качестве точки, через которую проходит прямая, возьмем точку А и будем считать, что она находится на расстоянии p единиц ( ) от точкиO в положительном направлении вектора   (при p = 0 точка А совпадает с началом координат), то есть,  .

Получим уравнение, которое задает эту прямую линию.

Очевидно, что точка   лежит на рассматриваемой прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора   на направление вектора   равна p, то есть, при условии  .

 - радиус-вектор точки  , следовательно,  , что было показано в разделе координаты радиус-вектора точки. Тогда из определения скалярного произведения векторов мы получаем равенство  , а это же скалярное произведение в координатной форме имеет вид  . Следовательно,   или  . На этом вывод нормального уравнения прямой закончен.

Полученное уравнение вида   называют нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой, также называют уравнением прямой в нормальном виде

  Отклонение точки от прямой   или 

где знак перед корнем противоположен знаку C, если   и выбран произвольно, если C = 0.

Билет 21

1.Прямые заданы общими уравнениямиПусть две прямые   и   заданы общими уравнениями

 и  .

угол между прямыми, заданными общими уравнениями

.  

Прямые заданы каноническими уравнениями

Пусть две прямые   и   заданы каноническими уравнениями

 и  .

угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями

.   (2)

Прямые заданы уравненями с угловым коэффициентом

Пусть две прямые   и   заданы уравнениями с угловым коэффициентом

 и  .

.

2.Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами  и  то для того, чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы  перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы 

если прямые заданы общими уравнениями  и  то для того, чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы  перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы 

Если прямые заданы каноническими уравнениями 

Если   , то прямые перпендикулярны.

Если   , то прямые параллельны.

БИЛЕТ 22

1.Аналитическая геометрия - раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами элементарной алгебры на основе метода координат. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела.

Методы аналитической геометрии применимы к фигурам на плоскости, к поверхностям в трехмерном пространстве, а также допускают обобщение на пространства более высоких размерностей.

2.   пространство, имеющее число измерений (Размерность)более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости— двумерны, прямые — одномерны. Возникновение понятия М. п. связано с процессом обобщения самогопредмета геометрии.  В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных спространственными, для многочисленных классов математических объектов (зачастую не имеющихгеометрического характера). В ходе этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактногоматематического пространства как системы элементов любой природы, междукоторыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными отношениями между точкамиобычного пространства. 

Билет 23Плоскость- поверхность, имеющая два измерения.(алгебраическая поверхность 1 порядка)

Общее уравнение плоскости:

 

Коэффициенты    являются координатами нормального вектора плоскости 

 Уравнение плоскости в отрезках 

где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.Нормальное уравнение плоскости  где   - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до плоскости.Уравнение плоскости проходящей через точку (х0,у0,z0) перпендикулярно данному вектору n(A, B, C)  

n- нормальный вектор к плоскости

Уравнение плоскости по трем точкам 

Условие перпендикулярности двух плоскостей 

 или 

Условие параллельности двух плоскостей 

Билет 24

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где  ,  ,   - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен). Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирущий множитель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.Если точка   имеет координаты  ,  ,  , а плоскость задана нормальным уравнением

,то отклонение точки  от этой плоскости дается формулой

Билет 25 Положение прямой в пространстве определено, если задать т. M0 и вектор S, параллельный этой прямой – направляющий вектор.

прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана:

системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей

Параметрическое уравнение прямой

Если известна точка  , принадлежащая прямой, и направляющий вектор   данной прямой, то параметрические уравнения этой прямой задаются системой:

Канонические уравнения прямой

Если известна некоторая точка пространства  , принадлежащая прямой, и направляющий вектор   данной прямой, то  канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Если известны две точки пространства  , то уравнения прямой, проходящей через данные точки, выражаются формулами:

Условие параллельности двух прямых      

5. Условие перпендикулярности двух прямых

mm₁ + nn₁ + pp₁ = 0

(m,n,p) – координаты направляющего вектора

Прямая и плоскость параллельны:

- направляющий вектор прямой

- нормальный вектор плоскости

Перпендикулярны: