Вопрос 37

Непрерывность ф.

Ф. f(x) называется непрерывной в х0,если она определена в некоторой окрестности точки ,

существует предел f(x) в точке Х0,

это предел равен значению функции в точке х0

lim f(x)=f(x0)

X→x0

Классификация точек разрыва

1)точка х0 называется точкой разрыва функ. f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке

2)точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода,если в этой точке функ. f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы

3) точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода ,если в этой точке функ. f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен

ТЕОРЕМЫ

1)Пусть заданы две функцииf(x) и g(x) , непрерывные на некотором множестве X . Сумма, произведение и частное (при условии, что g(x) ≠0 ) является также непрерывной функцией на рассматриваемом множестве.

2) Пусть функцияy= ɸ(x) непрерывна в точке a , а функция u=f(y) непрерывна в точке b=ɸ(a) . Тогда композиция(сложная функ) этих функций u=f(ɸ(x)) непрерывна в точке a .

3) Если функция f(x) является непрерывной и строго монотонной на отрезке[a;b] , которые лежит на оси абсцисс, то и обратная функция y=g(x) также непрерывна и монотонна на некотором отрезке[c;d] оси ординат.

4)Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Вопрос 38

Первый замечательный предел

Lim sinx\x=1

X→0

Применяется при неопр [0\0]

И наличии тригонометрич ф.

Верно и обратное

Lim x\sinx=1

Второй замечательный предел

Lim(1+1\x)^x=e

X→∞

Применяется в неопр [1^∞]

В более общем виде этот предел имеет вид lim(1+k\x)^x\k =e

X→∞

В качестве параметра может выступать не только переменная х , но и функ.

Замечание

1/х=t , t→0, то верно

Lim(1+t)^1\t=e

t→0

Вопрос 39

Приращение функц

Приращение функции – разность между двумя значениями функции.

1. Функция одной переменной. Пусть задана функция у = f(x), определенная при значении аргумента, равном х0. Дадим аргументу приращение Dх, т.е. рассмотрим значение аргумента, равное x0 + Dх. Предположим, что это значение аргумента также входит в область определения данной функции. Тогда разность

Dy = f(x0 + Dх) – f(x0) называется приращением функции.

2. Функция многих переменных. Пусть в некоторой области D n-мерного пространства задана функция z = f(x1; x2; … ; xn) и пусть точки М и N принадлежат области D – входят в область определения данной функции. При переходе из точки M в точку N каждая координата хi точки получит приращение Dхi , i = 1, 2, …, n, а данная функция – приращение Dz = f(N) – f(M) = f(x1+Dx1; x2+Dx2; …; xn+Dxn) – f(x1;x2; … ; xn). Это приращение называют иногда полным, в отличие от частного приращения Di z, при котором получает приращение только аргумент хi, а все остальные аргументы сохраняют первоначальное значение: Di z = f(x1, x2, …; xi–1; xi+1; …; xn) – f(x1; x2; …; xn).

Приращение аргумента

Приращение аргумента – разность между двумя значениями аргумента («новым» и «старым»). Обычно обозначается через Dх: Dх = x1 – x0

Понятие производной

Предел отношения приращения функ dy(d-дельта) в этой точке(если он существует) и приращения аргумента dy,когда dx→0 называется производной функ f(x) в точке х0

Y^|=lim( f(x0+dx)-f(x0)\dx)

dx→0

f^|(x0)= lim( f(x)-f(x0)\x-x0)

x→x0

Геометрический и механический смысл.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис видно, что для любых двух точек A и B графика функции: где а - угол наклона секущей AB.Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то dx неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f ( x0 ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0 ) имеет вид: y = f ’( x0 ) · x + b .Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,

отсюда, b = f ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 , и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:y = f ( x0 ) + f ’( x0 ) · ( x – x0 ) .Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + dt точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) - x ( t0 ) = dt , а её средняя скорость равна: v =dx/dt . При dt → 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:lim(dx\dt)=lim (x(t0+dt)-

x0(t)\dt)=x^|(t0)

dt→0отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).

Вопрос40Дифференцируемость функ.Ф y=f(x) имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) наз дифференцируемой в этом интервалеОперация нахождения производной наз дифференцирование Связь между диф. И непрерывностью.Если функ y=f(x) диф в точке х,то она и непрерывна в этой точке ,обратное не гарантируемо