Параметрические методы Критерий Стьюдента

Для сравнения выборочных средних величин, принадлежащих к двум совокупностям данных, и для решения вопроса о том, отличаются ли средние значения статистически достоверно друг от друга в психолого-педагогических экспериментах часто используют t-критерий Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:

,

где ‑ среднее выборочное значение переменной по одной выборке данных; ‑ среднее выборочное значение по другой выборке данных; m₁ и m₂ ‑ интегрированные показатели отклонений частных значений из двух выборок от соответствующих их средних величин.

Если t_расч больше или равно табличному, то делают вывод о том, что сравниваемые средние значения из двух выборок действительно статистически достоверно различаются с вероятностью допустимой ошибки.

Такая методика применяется тогда, когда необходимо установить, удался или не удался эксперимент, оказал или не оказал он влияние на уровень того качества, для изменения которого он предназначался.

Если t расчетное меньше t табличного, то в этом случае нет убедительных оснований для того, что эксперимент удался, даже если сами средние величины в начале и в конце эксперимента по своим абсолютным значениям различны.

Критерий φ* — угловое преобразование Фишера

Данный метод описан во многих руководствах (Плохинский Н.А., 1970; Гублер Е.В., 1978; Ивантер Э.В., Коросов А.В., 1992 и др.) Настоящее описание опирается на тот вариант метода, который был разработан и изложен Е.В. Гублером.

Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий исследователя эффект.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол φ, а меньшей доле - меньший угол, но соотношения здесь не линейные:

φ = 2·arcsin( ),

где - процентная доля, выраженная в долях единицы.

При увеличении расхождения между углами φ₁ и φ₂ и увеличения численности выборок значение критерия возрастает. Чем больше величина φ*, тем более вероятно, что различия достоверны.

Хи-квадрат - критерий Пирсона

Критерий Х² применяется в двух целях;

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим - равномерным, нормальным или каким-то иным;

2) для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака.

Критерий Х² отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения «да – нет», «решил задачу - не решил задачу» и т. п. мы уже можем применить критерий Х².

При сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим определяется степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами.

При сопоставлении двух эмпирических распределений определяется степень расхождения между эмпирическими частотами и теоретическими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения двух этих эмпирических распределений. Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распределениями, тем больше эмпирическое значение Х².

Непараметрические методы

G - Критерий знаков

Критерий знаков G предназначен для установления общего направления сдвига исследуемого признака.

Сдвиг - это разность между вторым и первым замерами. Сначала вычисляются разности отдельно для каждой из групп, а уж затем проводятся сопоставления двух рядов разностей (сдвигов), полученных в разных группах.

Данный критерий позволяет установить, в какую сторону в выборке в целом изменяются значения признака при переходе от первого измерения ко второму: изменяются ли показатели в сторону улучшения, повышения или усиления или, наоборот, в сторону ухудшения, понижения или ослабления.

Критерий знаков применим и к тем сдвигам, которые можно определить лишь качественно (например, изменение отрицательного отношения к чему-либо на положительное), так и к тем сдвигам, которые могут быть измерены количественно (например, сокращение времени работы над заданием после экспериментального воздействия).

Как правило, исследователь уже в процессе эксперимента может заметить, что у большинства испытуемых показатели во втором замере имеют тенденцию, скажем, повышаться. Однако ему еще требуется доказать, что положительный сдвиг является преобладающим.

Для начала сдвиги, которые кажутся преобладающими, называют типичными сдвигами, а сдвиги более редкого, противоположного направления, нетипичными. Если значения показателя повышаются у большего количества испытуемых, то этот сдвиг считается типичным. Например, если при исследовании отношения испытуемых к какому-либо событию или предложению после экспериментальных воздействий у большинства испытуемых отрицательное отношение сменилось на положительное, то этот сдвиг будет типичным.

Есть возможность «нулевых» сдвигов, когда реакция не изменяется или показатели не повышаются и не понижаются, а остаются на прежнем уровне. Однако такие «нулевые» сдвиги в критерии знаков исключаются из рассмотрения. При этом количество сопоставляемых пар уменьшается на число таких «нулевых» сдвигов.

Суть критерия знаков состоит в том, что он определяет, не слишком ли много наблюдается «нетипичных сдвигов», чтобы сдвиг в «типичном» направлении считать преобладающим. Ясно, что чем меньше «нетипичных сдвигов», тем более вероятно, что преобладание «типичного» сдвига является преобладающим. G_эмп - это количество «нетипичных» сдвигов. Чем меньше G_эмп, тем более вероятно, что сдвиг в «типичном» направлении статистически достоверен.

λ - критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий λ предназначен для сопоставления двух распределений:

а) эмпирического с теоретическим, например, равномерным или нормальным;

б) одного эмпирического распределения с другими эмпирическим распределением.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Если в методе χ² сопоставляются частоты двух распределений отдельно по каждому разряду, то здесь сопоставляются сначала частоты по первому разряду, потом по сумме первого и второго разрядов, потом по сумме первого, второго и третьего разрядов и т. д. Таким образом, мы сопоставляем всякий раз накопленные к данному разряду частоты.

Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, и мы сможем признать различия статистически достоверными. В формулу критерия λ включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение λ, тем более существенны различия.

Т - критерий Вилкоксона (Уилкоксона)

применяется для сопоставления показателей, намеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых.

Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. С его помощью определяется, является ли сдвиг показателей в каком-то одном направлении более интенсивным, чем в другом.

Этот критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней мере по шкале порядка, и сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут быть упорядочены. Для этого они должны варьировать в достаточно широком диапазоне. Можно применять критерий Т и в тех случаях, когда сдвиги принимают только три значения: —1, 0 и +1, но тогда критерий Т вряд ли добавит что-нибудь новое к тем выводам, которые можно было бы получить с помощью критерия знаков. Вот если сдвиги изменяются, скажем, от —30 до +45, тогда имеет смысл их ранжировать и потом суммировать ранги.

Суть метода состоит в том, что мы сопоставляем выраженность сдвигов в том и ином направлениях по абсолютной величине. Для этого мы сначала ранжируем все абсолютные величины сдвигов, а потом суммируем ранги. Если сдвиги в положительную и в отрицательную сторону происходят случайно, то суммы рангов абсолютных значений их будут примерно равны. Если же интенсивность сдвига в одном из направлений перевешивает, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

U - Критерий Манна-Уитни

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо количественно измеренного признака. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n₁,n₂≥3 или n₁=2, n₂ ≥5.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Первым рядом (выборкой, группой) называется тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а вторым рядом называется тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок (Welkowitz J. et al., 1982).

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U_эмп, тем более вероятно, что различия достоверны.