Задачи для самостоятельного решения
Используя метод множителей Лагранжа, найти точку условного экстремума следующей функции
L = 2х1 - x2+х3
при ограничениях:
х12 + x22+х32=1.
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функции
L = х1 + 4x2
при ограничениях:
,
x1,
x2
≥0.
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функций.
L = х1 + 3x2
при ограничениях:
x1, x2 ≥0.
Используя метод множителей Лагранжа, найти точку условного экстремума следующей функции L = х1x2+х2х3 при ограничениях:
Найти глобальные экстремумы и минимум дробно-линейной функции: L = (2х1 - x2)/(х2 +х1)
при ограничениях:
x1, x2 ≥0.
Используя метод множителей Лагранжа, найти точку условного экстремума следующей функции L = 2х1 - x2+х3 при ограничениях:
х12 + x22+х32=1.
Глава VI. Динамическое программирование
6.1. Постановка задачи динамического программирования
Динамическое программирование — один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные этапы (шаги).
Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития. Под управлением понимается совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса. Например, выпуск продукции предприятием — управляемый процесс. Совокупность решений, принимаемых в начале года (квартала и т.д.) по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, финансированию и т.д., является управлением. Необходимо организовать выпуск продукции так, чтобы принятые решения на отдельных этапах способствовали получению максимально возможного объема продукции или прибыли.
Динамическое программирование позволяет свести одну сложную задачу со многими переменными ко многим задачам с малым числом переменных. Это значительно сокращает объем вычислений и ускоряет процесс принятия управленческого решения [22].
В отличие от линейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным методом решения, в динамическом программировании такого универсального метода не существует. Одним из основных методов динамического программирования является метод рекуррентных соотношений, который основывается на использовании принципа оптимальности, разработанного американским математиком Р. Беллманом. Принцип состоит в том, что, каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце данного шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса в целом. В некоторых задачах, решаемых методом динамического программирования, процесс управления разбивается на шаги. При распределении на несколько лет ресурсов деятельности предприятия шагом целесообразно считать временной период; при распределении средств между предприятиями — номер очередного предприятия. В других задачах разбиение на шаги вводится искусственно. Например, непрерывный управляемый процесс можно рассматривать как дискретный, условно разбив его на временные отрезки (шаги). Исходя из условий каждой конкретной задачи, длину шага выбирают таким образом, чтобы на каждом шаге получить простую задачу оптимизации и обеспечить требуемую точность вычислений.