- •Математика в экономике Учебное пособие
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Программа дисциплины Цели и задачи освоения учебной дисциплины
- •Содержание дисциплины
- •I. Линейное программирование
- •1.1. Общая задача линейного программирования Задачи математического и линейного программирования
- •Математические модели простейших экономических задач Задача использования ресурсов
- •Задача о составлении рациона питания
- •Каноническая форма задачи линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Графический метод решения задач линейного программирования Задача с двумя переменными
- •Графический метод решения задач линейного программирования с п переменными
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Основные положения о решении злп
- •Теоремы о взаимосвязи опорных решений и угловых точек области допустимых решений
- •1.4. Симплексный метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод
- •Симплексные таблицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Теория двойственности Виды математических моделей двойственных задач
- •Общие правила составления двойственных задач
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Транспортная задача линейного программирования
- •Формулировка транспортной задачи
- •Математическая модель транспортной задачи
- •Опорное решение транспортной задачи
- •Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи
- •Метод вычеркивания
- •Методы построения начального опорного решения Метод северо-западного угла
- •Метод минимальной стоимости
- •Переход от одного опорного решения к другому
- •Распределительный метод
- •Метод потенциалов
- •Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом
- •Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов
- •Транспортная задача по критерию времени
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава II. Теория игр
- •2.1. Математические модели конфликтных ситуаций
- •2.2. Чистые и смешанные стратегии Основная теорема теории игр
- •Основная теорема теории игр
- •Геометрическая интерпретация игры 2x2, игры 2xп.
- •Общие методы решения конечных игр. Сведение их к задачам линейного программирования
- •Игры с «природой».
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава III. Теория массового обслуживания
- •3.1. Марковский случайный процесс
- •Понятие о марковском процессе
- •Потоки событий. Простейший поток.
- •Граф состоянии. Размеченный граф состояний
- •Уравнения Колмогорова для вероятностей состояния
- •Финальные вероятности состояний
- •3.2. Системы массового обслуживания
- •Смо с отказами
- •Смо с неограниченным ожиданием
- •Формулы для установившегося режима
- •Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
- •Формулы для установившегося режима
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава IV. Целочисленное программирование
- •4.1 Общая формулировка задачи целочисленного программирования Общая формулировка задачи
- •Графический метод решения задач
- •Прогнозирование эффективного использования производственных площадей
- •Метод Гомори
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава V. Нелинейное программирование
- •5.1. Задачи нелинейного программирования
- •Общая постановка задачи нелинейного программирования
- •Графический метод решения задач нелинейного программирования с двумя переменными
- •Задача с нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений
- •5.2. Метод множителей Лагранжа. Постановка задачи
- •Расчет экономико-математической модели при нелинейных реализациях продукции.
- •5.3. Дробно-линейное программирование Математическая модель задачи
- •Алгоритм решения.
- •Сведение экономико-математической модели дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава VI. Динамическое программирование
- •6.1. Постановка задачи динамического программирования
- •Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования Оптимальная стратегия замены оборудования
- •Оптимальное распределение ресурсов
- •Распределение инвестиций для эффективного использования потенциала предприятия
- •Нахождение рациональных затрат при строительстве трубопроводов и транспортных артерий
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава VII. Сетевые модели
- •7.1. Основные понятия сетевой модели Основные понятия
- •Расчет временных параметров сетевого графика
- •Построение сетевого графика и распределение ресурсов
- •Учет стоимостных факторов при реализации сетевого графика
- •Обоснование привлекательности проекта по выпуску продукции
- •Минимизация сети
- •Алгоритм решения
- •Нахождение кратчайшего пути
- •Задача замены автомобильного парка
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тест для самоконтроля
- •Список используемой литературы
- •Список рекомендуемой литературы Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •Ключ к тесту для самоконтроля
Задачи для самостоятельного решения
Записать экономико-математические модели следующих задач:
1. Для выпуска изделий двух типов (А и В) на заводе используется сырье четырех видов (I, II, III и IV). Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции задан таблицей 6. Запасы сырья составляют: I вида — 21 ед., II вида — 8ед., III вида—12 ед., IV вида — 5 ед. Выпуск одного изделия типа А приносит 3 ден. ед. прибыли, одного изделия типа В — 2 ден. ед. Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.
Таблица 6 – Исходные данные.
-
Изделие
Сырьё
I
II
III
IV
А
2
1
2
1
В
3
1
1
0
2. На четырех станках (I, II, III и IV) обрабатываются два вида деталей (А и В), причем каждая деталь проходит обработку на всех станках. Известны время обработки деталей на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и прибыль, получаемая от выпуска одной детали каждого вида. Эти данные приведены в таблице 7. Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль при условии, что количество деталей вида В не должно быть меньше количества деталей вида А.
Таблица 7- Исходные данные.
Станки |
Время обработки детали, ч |
Время работы станка за цикл производства, ч |
|
А |
В |
||
I |
1 |
2 |
16 |
II |
2 |
3 |
26 |
III |
1 |
1 |
10 |
IV |
3 |
1 |
24 |
Прибыль на одну деталь, руб. |
4 |
1 |
|
Совхоз закупает удобрения двух видов. В единице массы удобрения I вида содержатся 3 усл. ед. химического вещества а, 2— вещества b и 1— вещества с; в единице массы удобрения II вида — 1 усл. ед. вещества а, 1—вещества b и 1— вещества с. На 1 га почвы необходимо внести не менее 9 усл. ед. вещества а, 8 — вещества b, 6 — вещества с. Составить наиболее экономичный план закупки удобрений (в расчете на 1 га), если цены удобрений (на 1 ед. массы) таковы: I вида — 3 ден. ед., II вида — 4 ден. ед.
Для производства двух видов продукции (А и В) предприятие должно использовать оборудование трех видов (I, II, III), имеющееся в количествах соответственно 8, 6, 9 ед. По техническим условиям для производства 1 шт. продукции А требуется 2 ед. оборудования I вида, 1 ед. оборудования — II вида и 3 ед.оборудования — III вида, а для производства 1 шт. продукции В — 2, 2 и 0 ед. соответствующих видов оборудования. Известно, что от реализации 1 шт. продукции А предприятие получит 1 ден. ед. прибыли, 1 шт. продукции В — 3 ден. ед. Сколько единиц продукции каждого вида должно выпустить предприятие, чтобы получить наибольшую прибыль?
Можно закупить корм двух видов (I и II). В каждой единице корма I вида содержатся 1 ед. витамина А, 2 ед. витамина В и нет витамина С; в каждой единице корма II вида — 2 ед. витамина А, 1 ед. витамина В и 1 ед. витамина С. Животному необходимо дать в сутки не менее 10 ед. витамина А , 10 ед. витамина В и 4 ед. витамина С. Составить наиболее дешевый рацион питания животного, если стоимость единицы корма I вида равна 2 ден. ед., а стоимость единицы корма II вида — 5 ден. ед.
Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице 8.
Таблица 8 - Данные к задаче.
Исходный продукт |
Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого |
Запас, кг |
|
сливочное |
шоколадное |
||
Молоко |
0,8 |
0,5 |
400 |
Наполнители |
0,4 |
0,8 |
365 |
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., шоколадного — 14 ден. ед. Определить количество мороженого каждого вида, которое должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.